Мозаика пенроуза и золотое сечение. Презентация на тему мозаика пенроуза

Просмотры: 367

В февральском номере журнала «Сайнс» («Science») за 2007 год появилась статья американских ученых Питера Лу и Паула Стейнхардта о средневековой исламской архитектуре, сразу же ставшая научной сенсацией. По мнению авторов статьи, мозаичные узоры, украшающие стены средневековых мавзолеев, мечетей и дворцов, выполнены с использованием математических законов, открытых европейскими учеными лишь в 70-х годах ХХ столетия. Отсюда, со всей очевидностью следует, что средневековые зодчие на несколько столетий опередили своих европейских коллег.

Это открытие, как и многое в современной науке, произошло совершенно случайно. В 2005 году аспирант Гарвардского университета Питер Лу приехал в качестве туриста в Узбекистан. Любуясь настенным декором мавзолея Абдуллахана в Бухаре, он усмотрел в нем аналог сложных геометрических построений, изучавшихся им когда-то в университете. Причудливые формы узоров на многочисленных самаркандских орнаментах лишь подтверждали правильность его догадки. По возвращении домой он рассказал о своем открытии руководителю своей студенческой дипломной работы, профессору Принстонского университета, Паулу Стейнхардту.

Тщательное исследование структуры настенных росписей и орнамента средневековых мусульманских архитектурных памятников в Узбекистане, Афганистане, Иране, Ираке, Турции и Индии подтвердили правильность догадки Питера Лу и стали предметом упомянутой выше сенсационной статьи.

Для того чтобы понять смысл открытия Питера Лу и Паула Стейнхадта следует познакомиться с такими понятиями как задача о паркетах, квазикристаллическая структура, золотое число и т.д. Поэтому начнем изложение по порядку.

Задача о паркетах и структуры Пенроуза

В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами . Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.

В тоже время, правильные пятиугольники не могут служить элементарными элементами паркета, поскольку их нельзя на плоскости подогнать друг к другу плотно без зазоров. Тоже самое можно сказать о семи-, восьми-, девяти-, десяти- и т.д. угольниках. Постепенно были придуманы способы заполнения плоскости правильными многоугольниками разных видов и размеров. Например, вот так можно заполнить плоскость, комбинируя четырех- и восьмиугольники разных размеров:

Значительно более сложным развитием этой задачи было условие, чтобы структура паркета, составленного из нескольких видов многоугольников и полностью покрывающего плоскость, была бы не совсем «правильной» или «почти» периодической. Долгое время считалось, что эта задача не имеет решения. Однако в 60-х годах прошлого столетия она все же была решена, но для этого понадобился набор из тысяч многоугольников различных видов. Шаг за шагом число видов удавалось уменьшить, и, наконец, в середине 70-х годов, профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз решил задачу, используя всего два вида ромбов. Ниже показан вариант квазипериодического (т.е. почти периодического) заполнения плоскости ромбами с острыми углами в 72 и 36°. Их еще называют «толстыми» и «худыми» ромбами.

Для получения непериодической картины при укладывании ромбов следует придерживаться некоторых нетривиальных правил их сочетания. Оказалось, что эта простая с виду структура обладает очень интересными свойствами. Например, если взять отношение числа тонких ромбов к числу толстых, то оно оказывается всегда равно так называемому «золотому сечению» 1,618… Поскольку это число «не точное», а как говорят математики иррациональное, то и структура получается не периодической, а почти периодической. Более того, это число определяет соотношение между отрезками внутри десятиугольников, образующих пятиконечную звезду – пентаграмму, которая считается геометрической фигурой с идеальными пропорциями. Обратите внимание, что выделенные десятиугольники имеют одинаковую ориентацию, что согласовывает и определяет расположение ромбов, из которых составлена мозаика Пенроуза. Поразительно, что это чисто геометрическое построение оказалось самой подходящей математической моделью для описания, открытых в 1984 году квазикристаллов.

Что такое квазикристаллы

Мы включили этот раздел в нашу статью для того, чтобы рассказать еще одну интересную историю о том, как математическое построение, являющееся плодом чистой фантазии ученых, неожиданно нашло важное практическое применение.

Все вещества в природе можно разделить на два типа: аморфные, в которых полностью отсутствует закономерность во взаимном расположении атомов, и кристаллические, характеризующиеся их строго упорядоченным расположением. Из законов кристаллографии следует, что для кристаллов возможны оси симметрии лишь первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядков, т.е. по аналогии с паркетами кристаллы с симметрией пятого порядка в природе существовать не могут. Это обстоятельство было строго доказано на основе математической теории групп в многомерных пространствах. Но природа, как всегда оказалась намного изобретательней и в 1984 году была опубликована работа группы Шехтмана, в которой сообщалось об открытии сплава алюминия с марганцем, обладающего вращательной симметрией пятого порядка. Впоследствии было синтезировано множество аналогичных сплавов с неизвестными доселе свойствами. Эти сплавы были названы квазикристаллами, и сейчас они рассматриваются как промежуточные между аморфными и кристаллическими формами вещества.

Именно благодаря этому открытию геометрическое построение Пенроуза, оказавшееся наиболее подходящим инструментом для моделирования структуры квазикристалов, приобрело большую известность и получило дальнейшее развитие. И именно поэтому оно включено в университетские курсы. В настоящее время уже получено трехмерное обобщение мозаики Пенроуза, составленной из худого и толстого ромбоэдров — шестигранных фигур, каждая грань которых — ромб.

Какая геометрия лежит в основе средневековой мозаики

Проанализировав около 3700 мозаичных плиток, Лу и Стейнхардт пришли к заключению, что на рубеже XIII века повсеместно в мусульманских странах распространилась технология декорации мавзолеев, мечетей и других строений периодической мозаикой, составленной из набора пяти многоугольников, а именно, десятиугольника, шестиугольника, галстука-бабочки (терминология авторов статьи), пятиугольника и ромба. По существу, это было решение описанной выше задачи о паркетах с помощью набора из пяти «мусульманских» многоугольников. Узоры, составленные из таких многоугольников, называются «гирих» (от персидского – узел).

Обратите внимание, что грани всех многоугольников имеют одинаковые размеры, что позволяет состыковывать их с любой стороны. Кроме того, на каждой плитке-многоугольнике имеются декорирующие линии, но и они прочерчены по строгим геометрическим правилам: любые две линии узора сходятся в середине каждой стороны под углами в 72 или 108°, т.е. кратными 36°. Это обеспечивает сохранение непрерывности узора при переходе от одной плитки к другой.

Для построения такой мозаики было достаточно иметь в своем распоряжении циркуль и линейку. Кстати, до открытия американских ученых так и считалось, что средневековые мастера при создании декора зданий пользовались лишь простейшими инструментами как линейка и циркуль. Теперь стало очевидным, что это не совсем так.

На XV век приходится самый созидательный период расцвета науки и культуры в странах, управлявшихся Тимуридами. Именно в это время произошел качественный скачок и в искусстве орнамента. Подтверждением этого является, тот факт, что многочисленные исследованные памятники как мавзолей Дарб-е-Имама в Иране, усыпальница Хаджа Абдуллаха Ансари в Герате и другие относятся к эпохе Тимуридов.

Комбинация ставшей к этому времени традиционной мозаики гирих, и геометрических фигур «стрела» и «бумажный змей» (опять по терминологии Лу и Стеинхардта) позволили создать

непериодические узоры, напоминающие мозаику Пенроуза. Отсюда следует, что к этому времени они, возможно, использовали более сложные инструменты, но совершенно очевидно, что в XV веке в технике декора произошел концептуальный скачок!

Уже в последующих, после опубликования статьи, интервью Лу и Стейнхардт отмечали, что они не могут сказать, насколько средневековые зодчие сами понимали детали своего открытия, но то, что они видят это аналог структур Пенроуза. И они совершенно уверены в том, что то, что они открыли, не может быть лишь каким-то случайным совпадением.

Лирическое отступление

Дело сделано. Мне удалось разобраться в премудростях геометрических узоров, придающих неповторимую красоту творениям наших предков, и я надеюсь, в какой-то степени удовлетворить любопытство наших соотечественников. Остается, конечно, какая-то неудовлетворенность, ведь я тоже сотни раз любовался красотой и изяществом самаркандских орнаментов. Почему же мне никогда не приходила в голову эта мысль. В оправдание себе могу лишь сказать, что, когда квазипериодическая структура Пенроуза вошла в университетские курсы, я уже работал над кандидатской диссертацией по своей узкой специальности. А Питеру Лу всего 28 лет, и он уже проходил структуры Пенроуза в университете. Конечно, знать и распознать в совершенно неожиданном месте проявление какой-нибудь закономерности совершенно разные вещи, но, чтобы это сделать, надо как минимум знать, что такой закон существует.

Но лирическое отступление не об этом. Для того чтобы разобраться в сути статьи в журнале «Сайнс» мне понадобилось два дня, вернее две бессонные ночи, но причины, по которым я не сделал этого раньше, имеют, как мне кажется, глубокий философский смысл. Когда я прочел в Интернете информацию о статье Лу и Стейнхардта, то я сразу же позвонил моему коллеге, специалисту в области геометрии. Он с полуслова понял, о чем идет речь, но огорчил меня, сообщив, что я застал его перед отъездом в аэропорт. Узнав, что он возвращается из зарубежной командировки только через три месяца, я попросил его хотя бы рекомендовать мне какую-либо книжку, в которой я мог бы прочитать о структурах Пенроуза. Он назвал мне книжку и при этом добавил, что это очень сложная математика и вряд ли можно будет быстро все понять и тем более объяснить это популярно обычным людям. Когда я пролистал рекомендованную мне книгу, напичканную такими понятиями как, многомерные инвариантные пространства, фактор-пространство сопряженного иррационального пространства, то мой энтузиазм быстро угас.

После сообщения информационного агентства «Жахон» интерес нашей научной, да и не только научной общественности к этому вопросу стал лавинообразно нарастать. Среди ученых мужей Академии наук и Национального университета, конечно, нашлись специалисты, которые разбираются в сложных вопросах алгебр Ли, теории групп, многомерных симметрий и т.д. Но все они, были едины во мнении, что объяснить эти вещи популярно невозможно. На днях меня внезапно осенила тривиальная мысль: Постой. А как же додумались до этого средневековые зодчие, ведь они не располагали мощнейшим аппаратом современной математики? На этот раз я решил попытаться понять это не через сложный математический аппарат квазипериодической структуры Пенроуза, который оказался для меня тёмным лесом, а пойти путем средневековых зодчих. Для начала я скачал из Интернета оригинальную статью Лу и Стейнхардта. Их метод меня поразил. Для объяснения сути своего открытия они тоже пошли именно этим путем, т.е. используя понятийный аппарат средневековых зодчих, и оперируя такими простыми вещами как мозаика «гирих», плитки «стрела», «бумажный змей» и т.д.

Философский смысл всего этого состоит в том, что для того чтобы понять законы природы (а может быть и общества) не обязательно всем идти одним и тем же путем. Человеческое мышление тоже многомерно. Есть восточный подход, и есть подход западный. И каждый из них имеет право на существование, и в отдельном конкретном случае может неожиданно оказаться более эффективным, чем противоположный. Так получилось и в данном случае: то, что удалось открыть западной науке на основе огромного обобщения тернистого опыта, восточная наука сделала на основе интуиции и чувства прекрасного. И результаты налицо: в практическом воплощении законов геометрии в практику, восточные мыслители опередили западных на пять столетий!

Шухрат Эгамбердиев.
Астрономический институт АН РУз.

С полным текстом статьи с цветными иллюстрациями можно ознакомиться в ближайшем (статья написана году в 2008. ЕС) номере журнала «Фан ва турмуш» — «Наука и жизнь Узбекистана».

О существовании мозаики Пенроуза знает далеко не каждый, а тем более о том, что эта удивительная мозаика иногда находится буквально под ногами.
Когда мы с мужем гостим в семье сына в Финляндии, конечно же, гуляем по уютному и ухоженному городу Хельсинки. В программу нашего пребывания обязательно включается посещение магазина Академической книги Akateeminen Kirjakauppa, расположенного в центре на улице Keskuskatu, что по-русски означает Центральная улица. Посещение этого книжного магазина доставляет нам эстетическое удовольствие и, хотя книги в Финляндии стоят дорого, всегда хочется купить хоть небольшую красиво иллюстрированную книжечку о цветах и растениях.
Однажды сын, математик по специальности, посоветовал нам при прогулке по этой пешеходной улице внимательно рассмотреть мощение поверхности плитками . Он объяснил, что это мозаика Пенроуза .

Все мы, разумеется, видели кафельную плитку. Чаще всего она бывает квадратной формы. Из плиток выкладывают различные красивые узоры.

Иногда используют плитки разных форм и размеров, но общий вид покрытия поверхности всё равно квадратный.

Иногда плитки укладывают со сдвигом, или используют неквадратные плитки

Но все эти узоры всё равно состоят из повторяющихся частей

На улице Keskuskatu в Хельсинки плитки уложены так, что узор не повторяется .

До 1964 г. никто не верил, что можно придумать такой набор плиток, которыми можно замостить плоскость, не повторяя узора.
В 1964 г. математик Robert Berger придумал такой набор. К сожалению, в этом наборе было 20426 плиток разных форм и размеров.
Почти сразу он же придумал, как уменьшить количество разных плиток в наборе до 104 видов.
В 1968 году знаменитый математик Donald Knuth уменьшил количество разных плиток до 92.

В 1971 году Raphael Robinson придумал такой набор всего лишь из шести плиток, которыми можно замостить плоскость без повторений. Но вряд ли вы захотите использовать их в вашей ванной комнате.

В 1973 году английский математик Roger Penrose придумал набор из шести красивых плиток. Если покрыть этими плитками даже очень большой пол, узор не повторится.

Настоящая же известность пришла к Roger Penrose, когда он обнаружил, что достаточно всего двух типов плиток, чтобы создать неповторяющийся узор. Эти плитки представляют собой геометрические фигуры - ромбы, несколько отличающиеся друг от друга.
Это фотография математика Roger Penrose на фоне поверхности, покрытой неповторяющимся узором.
Замощение плоскости неповторяющимся орнаментом из плиток теперь называют мозаикой Пенроуза .

Полученное замощение имеет такой вид, как будто мозаика обладает определённым свойством симметрии, когда некоторую часть геометрического узора можно переносить параллельно, не поворачивая, и части совмещать друг с другом.

На самом же деле при внимательном рассмотрении мозаики Пенроуза можно заметить, что узор не имеет периодичности, в то же время узор не является хаотичным. Симметрия геометрического узора Пенроуза называется вращательной, а строго математически, пятого порядка.

В течение примерно десяти лет математическое изобретение Roger Penrose не имело прикладного значения и было известно в основном математикам. Но израильский профессор Dan Shechtman в 1984 году, изучающий физику твёрдого тела, обнаружил дифракцию того самого пятого порядка на атомной решётке алюминиево-магниевого сплава. При обсуждении этого явления учёные приняли в качестве математической модели уже известную мозаику Пенроуза.

В дальнейшем выяснилось, что покрытие поверхности геометрическими фигурами без промежутков или наложений друг на друга широко применялось в исламском искусстве ещё в средние века. В Азии мозаичными геометрическими орнаментами покрывали мечети. В старинных манускриптах найдены схемы, свидетельствующие о том, что узоры, украшающие стены не являются хаотичными, а состоят из определённых фигур, расположенных в строгом порядке. Поскольку исламское искусство находилось под запретом изображения животных или человека, то древние мастера украшали храмы геометрическими орнаментами.
Вызывает восхищение и удивление большое разнообразие неповторяющихся орнаментов. Причина кроется как раз в том, что использовались специальные виды мозаики, многие из которых обладали той самой вращательной симметрией пятого порядка, и фактически являлись мозаиками Пенроуза. Можно предположить, что роль математики была очень важна в средневековом искусстве Ислама.

Ниже я предлагаю для просмотра фотографии плиточного покрытия мозаикой Пенроуза пешеходной улицы Keskuskatu в Хельсинки. Поверхность покрыта плитками без промежутков или наложений, при этом узор нигде не повторяется .

В 1973 году английский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) создал особенную мозаику из геометрических фигур, которая так и стала называться - мозаикой Пенроуза.
Мозаика Пенроуза представляет собой узор, собранный из многоугольных плиток двух определённых форм (немного различающихся ромбов). Ими можно замостить бесконечную плоскость без пробелов.

Мозаика Пенроуза в версии её создателя.
Она собрана из ромбов двух типов,
один – с углом 72 градуса, другой – с углом 36 градусов.
Картина получается симметричная, но не периодичная.

Получающееся изображение выглядит так, будто является неким "ритмическим" орнаментом – картинкой, обладающей трансляционной симметрией. Такой тип симметрии означает, что в узоре можно выбрать определённый кусочек, который можно "копировать" на плоскости, а затем совмещать эти "дубликаты" друг с другом параллельным переносом (проще говоря, без поворота и без увеличения).

Однако, если присмотреться, можно узреть, что в узоре Пенроуза нет таких повторяющихся структур – он апериодичен. Но дело отнюдь не в оптическом обмане, а в том, что мозаика не хаотична: она обладает вращательной симметрией пятого порядка.

Это значит, что изображение можно поворачивать на минимальный угол, равный 360 / n градусам, где n – порядок симметрии, в данном случае n = 5. Следовательно, угол поворота, который ничего не меняет, должен быть кратен 360 / 5 = 72 градусам.

Примерно десятилетие выдумка Пенроуза считалась не более чем милой математической абстракцией. Однако в 1984 году Дэн Шехтман (Dan Shechtman), профессор израильского технологического института (Technion), занимаясь изучением строения алюминиево-магниевого сплава, обнаружил, что на атомной решётке этого вещества происходит дифракция.

Предыдущие представления, существовавшие в физике твёрдого тела, исключали такую возможность: структура дифракционной картины обладает симметрией пятого порядка. Её части нельзя совмещать параллельным переносом, а значит, это вовсе никакой не кристалл. Но дифракция характерна как раз для кристаллической решётки! Учёные договорились о том, что данный вариант будет назваться квазикристаллами – чем-то вроде особого состояния вещества. Ну а вся красота открытия в том, что для него уже давно была готова математическая модель - мозаика Пенроуза.

А совсем недавно стало понятно, что этой математической конструкции намного больше лет, чем можно было себе представить. В 2007 году Питер Лу (Peter J. Lu), физик из Гарварда (Harvard University) за компанию с другим физиком - Полом Стейнхардтом (Paul J. Steinhardt), но из Принстона (Princeton University), - опубликовал в Science статью, посвящённую мозаикам Пенроуза. Казалось бы, неожиданного тут немного: открытие квазикристаллов привлекло живой интерес к данной теме, что привело к появлению кучи публикаций в научной прессе.

Однако изюминка работы в том, что она посвящена далеко не современной науке. Да и вообще - не науке. Питер Лу обратил внимание на узоры, покрывающие мечети в Азии, построенные ещё в Средневековье. Эти легко узнаваемые рисунки сделаны из мозаичной плитки. Они называются гирихи (от арабского слова "узел") и представляют собой геометрический орнамент, характерный для исламского искусства и состоящий из многоугольных фигур.

Образец выкладки плитки, показанный в арабском манускрипте XV века.
Цветами исследователи выделили повторяющиеся области.
На основе этих пяти элементов выстроены все геометрические узоры
средневековых арабских мастеров. Повторяющиеся элементы
не обязательно совпадают с границами плиток.

В исламском орнаменте выделяют два стиля: геометрический – гирих, и растительный – ислими.
Гирих (перс.) – сложный геометрический орнамент, составленный из стилизованных в прямоугольные и полигональные фигуры линий. В большинстве случаев используется для внешнего оформления мечетей и книг в крупном издании.
Ислими (перс.) – вид орнамента, построенного на соединении вьюнка и спирали. Воплощает в стилизованной или натуралистической форме идею непрерывно развивающегося цветущего лиственного побега и включает в себя бесконечное разнообразие вариантов. Наибольшее распространение он получил в одежде, книгах, внутренней отделке мечетей, посуде.

Обложка Корана 1306-1315 годов и прорисовка геометрических фрагментов,
на которых основан узор. Этот и следующий примеры не соответствуют
решёткам Пенроуза, но обладают вращательной симметрией пятого порядка

До открытия Питера Лу считалось, что древние архитекторы создавали узоры гириха c помощью линейки и циркуля (если вообще не по наитию). Однако пару лет назад, находясь во время путешествия в Узбекистане, Лу заинтересовался узорами мозаик, украшавшими местную средневековую архитектуру, и приметил в них что-то знакомое. Вернувшись в Гарвард, учёный стал рассматривать аналогичные мотивы в мозаиках на стенах средневековых построек Афганистана, Ирана, Ирака и Турции.

Этот образец датирован более поздним периодом – 1622 год (индийская мечеть).
Глядя на него и прорисовку его структуры, нельзя не восхититься трудолюбию
исследователей. И, конечно же, самих мастеров.

Питер Лу обнаружил, что геометрические схемы гирихов практически одинаковы, и смог выделить основные элементы, использовавшихся во всех геометрических орнаментах. Кроме того, он нашёл чертежи этих изображений в старинных манускриптах, которыми древние художники пользовались в качестве своеобразной шпаргалки по украшению стен.
Для создания этих узоров применяли не простые, случайно придуманные контуры, а фигуры, которые были расположены в определённом порядке. Древние узоры оказались точными построениями мозаик Пенроуза!

На этих снимках выделены одинаковые области,
хотя это и фотографии из самых разных мечетей

В исламской традиции существовал строгий запрет на изображение людей и животных, поэтому в оформлении зданий большую популярность приобрёл геометрический орнамент. Средневековые мастера умудрялись как-то делать его разнообразным. Но в чём был секрет их "стратегии" – никто не знал. Так вот, секрет как раз оказывается в использовании специальных мозаик, которые могут, оставаясь симметричными, заполнять плоскость, не повторяясь.

Другой "фокус" этих изображений в том, что, "копируя" такие схемы в различных храмах по чертежам, художники неизбежно должны были бы допустить искажения. Но нарушения данного характера минимальны. Объясняется это только тем, что в масштабных чертежах смысла не была: главное – принцип, по которому строить картину.

Для сборки гирихов применяли плитки пяти видов (десяти- и пятиугольные ромбы и "бабочки"), которые в мозаике составлялись, прилегая друг к другу без свободного пространства между ними. Мозаики созданные из них, могли обладать как сразу вращательной и трансляционной симметрией, так и только вращательной симметрией пятого порядка (то есть являлись мозаиками Пенроуза).

Фрагмент орнамента иранского мавзолея 1304 года. Справа – реконструкция гирихов

Исследовав сотни фотографий средневековых мусульманских достопримечательностей, Лу со Стейнхардтом смогли датировать появление подобной тенденции XIII веком. Постепенно этот способ приобретал всё большую популярность и к XV веку стал широко распространённым. Датировка примерно совпадает с периодом развития техники декорирования дворцов, мечетей, различных важных зданий глазурованной цветной керамической плиткой в форме различных многоугольников. То есть керамическую плитку специальных форм создавали именно для гирихов.

Образцом почти идеальной квазикристаллической структуры исследователи посчитали святилище имама Дарб-и в иранском городе Исфахане, датируемое 1453 годом.

Портал святилища имама Дарб-и в Исфахане (Иран).
Здесь друг на друга наложены сразу две системы гирихов.

Колонна внутреннего двора мечети в Турции (около 1200 года)
и стены медресе в Иране (1219 год). Это ранние произведения,
и в них используется всего два структурных элемента, найденных Лу

Теперь остается найти ответы на ряд загадок в истории гириха и мозаик Пенроуза. Каким образом и для чего древние математики открыли квазикристаллические структуры? Придавали ли средневековые арабы мозаикам какой-то иной смысл, кроме художественного? Почему столь интересная математическая концепция была забыта на полтысячелетия? И самое интересное - какие еще современные открытия являются новым, которое на самом деле - хорошо забытое старое?