ট্রাস্ট বিকল্প। ফ্রিকোয়েন্সি এবং অনুপাতের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
আজ এটি সত্যিই খুব সহজ: আপনি একটি কম্পিউটারে হাঁটতে পারেন এবং আপনি যা করছেন তার সামান্য বা কোন জ্ঞান ছাড়াই, সত্যিকারের আশ্চর্যজনক গতির সাথে বুদ্ধিমান এবং বাজে কথা তৈরি করতে পারেন। (জে. বক্স)
আস্থা অন্তর
সাধারণ পর্যালোচনা
জনসংখ্যা থেকে একটি নমুনা গ্রহণ করে, আমরা আমাদের আগ্রহের প্যারামিটারের একটি বিন্দু অনুমান প্রাপ্ত করব এবং অনুমানের যথার্থতা নির্দেশ করার জন্য আদর্শ ত্রুটি গণনা করব।
যাইহোক, অধিকাংশ ক্ষেত্রে, যেমন মান ত্রুটি গ্রহণযোগ্য নয়. জনসংখ্যার প্যারামিটারের জন্য একটি ব্যবধান অনুমানের সাথে নির্ভুলতার এই পরিমাপকে একত্রিত করা অনেক বেশি কার্যকর।
প্যারামিটারের জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান (CI - আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান, CI - আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান) গণনা করার জন্য নমুনা পরিসংখ্যান (প্যারামিটার) এর তাত্ত্বিক সম্ভাব্যতা বিতরণের জ্ঞান ব্যবহার করে এটি করা যেতে পারে।
সাধারণভাবে, আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান উভয় দিকের অনুমানকে প্রসারিত করে মান ত্রুটির (একটি প্রদত্ত প্যারামিটারের); দুটি মান (আস্থার সীমা) যা ব্যবধানকে সংজ্ঞায়িত করে সাধারণত একটি কমা দ্বারা পৃথক করা হয় এবং বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে।
গড় জন্য আত্মবিশ্বাস ব্যবধান
স্বাভাবিক বিতরণ ব্যবহার করে
নমুনা গড় একটি স্বাভাবিক বন্টন আছে যদি নমুনার আকার বড় হয়, তাই নমুনা গড় বিবেচনা করার সময় স্বাভাবিক বন্টনের জ্ঞান প্রয়োগ করা যেতে পারে।
বিশেষ করে, নমুনা মানে বিতরণের 95% জনসংখ্যা গড় 1.96 মান বিচ্যুতি (SD) এর মধ্যে।
যখন আমাদের কাছে শুধুমাত্র একটি নমুনা থাকে, তখন আমরা এটিকে গড় (SEM) এর স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি বলি এবং গড়টির জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নিম্নরূপ গণনা করি:
যদি এই পরীক্ষাটি বেশ কয়েকবার পুনরাবৃত্তি করা হয়, তাহলে ব্যবধানে প্রকৃত জনসংখ্যার মানে 95% সময় থাকবে।
এটি সাধারণত একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান, যেমন মানগুলির পরিসর যার মধ্যে প্রকৃত জনসংখ্যার গড় (সাধারণ গড়) 95% আত্মবিশ্বাসের স্তরের সাথে থাকে।
যদিও এটি বেশ কঠোর নয় (জনসংখ্যার মানে একটি নির্দিষ্ট মান এবং তাই এটির সাথে সম্পর্কিত কোনও সম্ভাবনা থাকতে পারে না) এইভাবে আস্থার ব্যবধানকে ব্যাখ্যা করা, ধারণাগতভাবে বোঝা সহজ।
ব্যবহার টি-বিতরণ
যদি আপনি জনসংখ্যার পার্থক্যের মান জানেন তবে আপনি স্বাভাবিক বন্টন ব্যবহার করতে পারেন। এছাড়াও, যখন নমুনার আকার ছোট হয়, তখন নমুনা গড় একটি স্বাভাবিক বন্টন অনুসরণ করে যদি জনসংখ্যার অন্তর্নিহিত ডেটা সাধারণত বিতরণ করা হয়।
যদি জনসংখ্যার অন্তর্নিহিত ডেটা সাধারণত বিতরণ করা না হয় এবং/অথবা সাধারণ বৈচিত্র (জনসংখ্যার বৈচিত্র) অজানা থাকে, তাহলে নমুনা মানে মেনে চলে ছাত্রদের টি-বন্টন.
নিম্নরূপ জনসংখ্যার জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করুন:
যেখানে - শতাংশ পয়েন্ট (শতাংশ) টি-স্বাধীনতার (n-1) ডিগ্রী সহ ছাত্র বন্টন, যা 0.05 এর দ্বি-পুচ্ছ সম্ভাবনা দেয়।
সাধারণভাবে, এটি একটি সাধারণ বন্টন ব্যবহার করার তুলনায় একটি বিস্তৃত ব্যবধান প্রদান করে, কারণ এটি অতিরিক্ত অনিশ্চয়তাকে বিবেচনা করে যা জনসংখ্যার মানক বিচ্যুতি অনুমান করে এবং/অথবা ছোট নমুনার আকারের কারণে প্রবর্তিত হয়।
যখন নমুনার আকার বড় হয় (100 বা তার বেশি অর্ডারের), দুটি বিতরণের মধ্যে পার্থক্য ( টি-ছাত্রএবং স্বাভাবিক) নগণ্য। যাইহোক, সবসময় ব্যবহার করুন টি-নমুনার আকার বড় হলেও আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করার সময় বিতরণ।
সাধারণত 95% CI দেওয়া হয়। অন্যান্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করা যেতে পারে, যেমন গড় জন্য 99% CI।
স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি এবং টেবিল মানের পণ্যের পরিবর্তে টি-ডিস্ট্রিবিউশন যা 0.05 এর একটি দ্বি-টেইলড সম্ভাব্যতার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ একটি মান দিয়ে এটিকে (মান ত্রুটি) গুণ করে যা 0.01 এর দ্বি-টেইল্ড সম্ভাব্যতার সাথে মিলে যায়। এটি 95% ক্ষেত্রের তুলনায় একটি বিস্তৃত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান কারণ এটি বর্ধিত আত্মবিশ্বাসকে প্রতিফলিত করে যে ব্যবধানটি প্রকৃতপক্ষে জনসংখ্যার গড়কে অন্তর্ভুক্ত করে।
অনুপাতের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
অনুপাতের নমুনা বিতরণের একটি দ্বিপদ বন্টন রয়েছে। তবে স্যাম্পল সাইজ হলে nযুক্তিসঙ্গতভাবে বড়, তারপর অনুপাত নমুনা বন্টন গড় সঙ্গে প্রায় স্বাভাবিক।
নমুনা অনুপাত দ্বারা অনুমান p=r/n(কোথায় r- আমাদের আগ্রহের বৈশিষ্ট্য সহ নমুনায় ব্যক্তির সংখ্যা), এবং মান ত্রুটি অনুমান করা হয়:
অনুপাতের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান অনুমান করা হয়েছে:
যদি নমুনার আকার ছোট হয় (সাধারণত যখন npবা n(1-p)কম 5
), তারপর সঠিক আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করার জন্য দ্বিপদ বন্টন ব্যবহার করতে হবে।
উল্লেখ্য যে যদি পিতারপর শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয় (1-পি)পরিবর্তে (100p).
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের ব্যাখ্যা
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান ব্যাখ্যা করার সময়, আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলিতে আগ্রহী:
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান কতটা প্রশস্ত?
একটি বিস্তৃত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্দেশ করে যে অনুমানটি ভুল; সংকীর্ণ একটি সূক্ষ্ম অনুমান নির্দেশ করে।
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের প্রস্থ মান ত্রুটির আকারের উপর নির্ভর করে, যা নমুনার আকারের উপর নির্ভর করে এবং ডেটার পরিবর্তনশীলতা থেকে একটি সংখ্যাগত পরিবর্তনশীল বিবেচনা করার সময়, কয়েকটি বৃহৎ ডেটা সেটের অধ্যয়নের চেয়ে বিস্তৃত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান দিন। ভেরিয়েবল
সিআই কি বিশেষ আগ্রহের কোনো মান অন্তর্ভুক্ত করে?
আপনি একটি জনসংখ্যার প্যারামিটারের জন্য সম্ভাব্য মান একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের মধ্যে পড়ে কিনা তা পরীক্ষা করতে পারেন। যদি হ্যাঁ, তাহলে ফলাফল এই সম্ভাব্য মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যদি তা না হয়, তাহলে এটি অসম্ভাব্য (95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য, সম্ভাবনা প্রায় 5%) প্যারামিটারটির এই মান রয়েছে।
জনসংখ্যা থেকে একটি নমুনা গ্রহণ করে, আমরা আমাদের আগ্রহের প্যারামিটারের একটি বিন্দু অনুমান প্রাপ্ত করব এবং অনুমানের যথার্থতা নির্দেশ করার জন্য আদর্শ ত্রুটি গণনা করব।
যাইহোক, অধিকাংশ ক্ষেত্রে, যেমন মান ত্রুটি গ্রহণযোগ্য নয়. জনসংখ্যার প্যারামিটারের জন্য একটি ব্যবধান অনুমানের সাথে নির্ভুলতার এই পরিমাপকে একত্রিত করা অনেক বেশি কার্যকর।
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান (CI - আস্থা ব্যবধান, ডিআই - আস্থা ব্যবধান) প্যারামিটারের জন্য।
মোটেও, আস্থা ব্যবধানস্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির (একটি প্রদত্ত প্যারামিটারের) একটি নির্দিষ্ট মাল্টিপল দ্বারা উভয় দিকের অনুমান প্রসারিত করে; দুটি মান (আস্থার সীমা) যা ব্যবধানকে সংজ্ঞায়িত করে সাধারণত একটি কমা দ্বারা পৃথক করা হয় এবং বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে।
পরিসংখ্যানে, ক আস্থা ব্যবধান(CI) হল একটি জনসংখ্যার প্যারামিটারের এক ধরনের ব্যবধান অনুমান। এটি একটি পর্যবেক্ষিত ব্যবধান (অর্থাৎ, এটি পর্যবেক্ষণ থেকে গণনা করা হয়), নীতিগতভাবে নমুনা থেকে নমুনাতে ভিন্ন, যেটিতে প্রায়শই আগ্রহের একটি অপরিবর্তনীয় প্যারামিটারের মান অন্তর্ভুক্ত থাকে যদি পরীক্ষার পুনরাবৃত্তি হয়। কত ঘন ঘন পর্যবেক্ষিত ব্যবধানে পরামিতি রয়েছে তা আত্মবিশ্বাসের স্তর বা আস্থা সহগ দ্বারা নির্ধারিত হয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, "আত্মবিশ্বাসের স্তর" শব্দটির অর্থ হল, যদি প্রতিলিপিকৃত (এবং সম্ভবত ভিন্ন) পরীক্ষার অনেকগুলি পৃথক ডেটা বিশ্লেষণ জুড়ে CI তৈরি করা হয়, তাহলে প্যারামিটারের প্রকৃত মান ধারণ করে এমন ব্যবধানের অনুপাত প্রদত্ত সাথে মিলবে। আত্মবিশ্বাস এর ধাপ. যেখানে দ্বিমুখী আত্মবিশ্বাসের সীমা একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গঠন করে, তাদের একতরফা প্রতিরূপকে নিম্ন/উর্ধ্ব আত্মবিশ্বাসের সীমা (বা সীমা) হিসাবে উল্লেখ করা হয়।
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি দেখায় যে নমুনা পর্যবেক্ষণের (জরিপ) ফলাফলগুলি কী পরিসরে অবস্থিত হবে। যদি আমরা একটি জনসংখ্যা থেকে অভিন্ন নমুনায় 100টি অভিন্ন সমীক্ষা পরিচালনা করি (উদাহরণস্বরূপ, 5 মিলিয়ন জনসংখ্যার একটি শহরে 1000 জন মানুষের 100টি নমুনা), তাহলে 95% আত্মবিশ্বাসের স্তরে, 100টির মধ্যে 95টি ফলাফলের মধ্যে পড়বে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান (উদাহরণস্বরূপ, 30% এর সত্য মান সহ 28% থেকে 32%)। উদাহরণস্বরূপ, ধূমপানকারী শহরের বাসিন্দাদের প্রকৃত সংখ্যা 30%। যদি আমরা 1000 জনকে এক সারিতে 100 বার নির্বাচন করি এবং এই নমুনাগুলিতে আমরা প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করি "আপনি কি ধূমপান করেন?", এই 100টি নমুনার মধ্যে 95টিতে, 2% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান সহ, মানটি 28% থেকে 32% পর্যন্ত হবে৷
সাথে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্মাণের সূত্র ব্যবহারিক উদাহরণপাওয়া যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, .
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের ব্যাখ্যা
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান ব্যাখ্যা করার সময়, আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলিতে আগ্রহী:
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান কতটা প্রশস্ত?
একটি বিস্তৃত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্দেশ করে যে অনুমানটি ভুল; সংকীর্ণ একটি সূক্ষ্ম অনুমান নির্দেশ করে।
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের প্রস্থ মান ত্রুটির আকারের উপর নির্ভর করে, যা নমুনার আকারের উপর নির্ভর করে এবং ডেটার পরিবর্তনশীলতা থেকে একটি সংখ্যাগত পরিবর্তনশীল বিবেচনা করার সময়, কয়েকটি বৃহৎ ডেটা সেটের অধ্যয়নের চেয়ে বিস্তৃত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান দিন। ভেরিয়েবল
সিআই কি বিশেষ আগ্রহের কোনো মান অন্তর্ভুক্ত করে?
আপনি একটি জনসংখ্যার প্যারামিটারের জন্য সম্ভাব্য মান একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের মধ্যে পড়ে কিনা তা পরীক্ষা করতে পারেন। যদি হ্যাঁ, তাহলে ফলাফল এই সম্ভাব্য মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যদি তা না হয়, তাহলে এটি অসম্ভাব্য (95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য, সম্ভাবনা প্রায় 5%) প্যারামিটারটির এই মান রয়েছে। ()
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের অনুমান
শিক্ষার উদ্দেশ্য
পরিসংখ্যান নিম্নলিখিত বিবেচনা দুটি প্রধান কাজ:
নমুনা ডেটার উপর ভিত্তি করে আমাদের কিছু অনুমান আছে এবং আমরা আনুমানিক প্যারামিটারের প্রকৃত মান কোথায় সে সম্পর্কে কিছু সম্ভাব্য বিবৃতি দিতে চাই।
আমাদের একটি নির্দিষ্ট অনুমান রয়েছে যা নমুনা ডেটার উপর ভিত্তি করে পরীক্ষা করা দরকার।
এই বিষয়ে, আমরা প্রথম সমস্যা বিবেচনা. আমরা একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সংজ্ঞাও প্রবর্তন করি।
একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হল একটি ব্যবধান যা একটি প্যারামিটারের আনুমানিক মানকে ঘিরে তৈরি করা হয় এবং দেখায় যে আনুমানিক পরামিতির প্রকৃত মান একটি অগ্রাধিকার প্রদত্ত সম্ভাব্যতার সাথে কোথায় রয়েছে।
এই বিষয়ে উপাদান অধ্যয়ন করার পরে, আপনি:
অনুমানের আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান কী তা শিখুন;
পরিসংখ্যানগত সমস্যা শ্রেণীবদ্ধ করতে শিখুন;
পরিসংখ্যানগত সূত্র এবং সফ্টওয়্যার সরঞ্জাম ব্যবহার করে উভয়ই আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরির কৌশল আয়ত্ত করুন;
সনাক্ত করতে শিখুন প্রয়োজনীয় মাত্রাপরিসংখ্যানগত অনুমানের নির্ভুলতার নির্দিষ্ট পরামিতি অর্জনের জন্য নমুনা।
নমুনা বৈশিষ্ট্য বিতরণ
টি-বন্টন
উপরে যেমন আলোচনা করা হয়েছে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন 0 এবং 1 প্যারামিটার সহ একটি প্রমিত স্বাভাবিক বন্টনের কাছাকাছি। যেহেতু আমরা σ-এর মান জানি না, তাই আমরা এটিকে কিছু অনুমান s দিয়ে প্রতিস্থাপন করি। পরিমাণ ইতিমধ্যে একটি ভিন্ন বন্টন আছে, যথা, বা ছাত্রদের বিতরণ, যা পরামিতি n -1 (স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যা) দ্বারা নির্ধারিত হয়। এই ডিস্ট্রিবিউশনটি স্বাভাবিক ডিস্ট্রিবিউশনের কাছাকাছি (বড় n, ডিস্ট্রিবিউশনের কাছাকাছি)।
ডুমুর উপর. 95 
স্বাধীনতার 30 ডিগ্রি সহ ছাত্রদের বিতরণ উপস্থাপন করা হয়। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এটি স্বাভাবিক বিতরণের খুব কাছাকাছি।
সাধারণ বন্টন NORMDIST এবং NORMINV-এর সাথে কাজ করার জন্য ফাংশনগুলির মতো, টি-ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে কাজ করার জন্য ফাংশন রয়েছে - STUDIST (TDIST) এবং STUDRASPBR (TINV). এই ফাংশনগুলির ব্যবহারের একটি উদাহরণ STUDRIST.XLS ফাইলে (টেমপ্লেট এবং সমাধান) এবং চিত্রে পাওয়া যাবে। 96 
.
অন্যান্য বৈশিষ্ট্যের বিতরণ
আমরা ইতিমধ্যে জানি, প্রত্যাশা অনুমানের সঠিকতা নির্ধারণ করতে, আমাদের একটি টি-বন্টন প্রয়োজন। অন্যান্য পরামিতি অনুমান করতে, যেমন বৈকল্পিক, অন্যান্য বিতরণ প্রয়োজন। তাদের মধ্যে দুটি হল F-বন্টন এবং x 2 -বন্টন.
গড় জন্য আত্মবিশ্বাস ব্যবধান
আস্থা ব্যবধানএকটি ব্যবধান যা প্যারামিটারের আনুমানিক মানের চারপাশে তৈরি করা হয় এবং দেখায় যে আনুমানিক পরামিতির প্রকৃত মান একটি অগ্রাধিকার প্রদত্ত সম্ভাব্যতার সাথে কোথায় রয়েছে।
গড় মানের জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের নির্মাণ ঘটে নিম্নলিখিত উপায়ে:
উদাহরণ
ফাস্ট ফুড রেস্তোরাঁটি একটি নতুন ধরনের স্যান্ডউইচের সাথে তার ভাণ্ডার প্রসারিত করার পরিকল্পনা করেছে। এটির চাহিদা অনুমান করার জন্য, ব্যবস্থাপক এলোমেলোভাবে 40 জন দর্শককে বেছে নেওয়ার পরিকল্পনা করেছেন যারা ইতিমধ্যে এটি চেষ্টা করেছেন এবং তাদের নতুন পণ্যের প্রতি তাদের মনোভাব 1 থেকে 10 এর স্কেলে রেট দিতে বলবেন। ম্যানেজার অনুমান করতে চান পয়েন্টের প্রত্যাশিত সংখ্যা যা তারা পাবে নতুন পণ্যএবং এই অনুমানের জন্য একটি 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করুন। এটা কিভাবে করতে হবে? (SANDWICH1.XLS ফাইল দেখুন (টেমপ্লেট এবং সমাধান)।
সমাধান
এই সমস্যা সমাধানের জন্য, আপনি ব্যবহার করতে পারেন. ফলাফল ডুমুর উপস্থাপন করা হয়. 97 
.
মোট মানের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
কখনও কখনও, নমুনা তথ্য অনুযায়ী, গাণিতিক প্রত্যাশা নয়, মোট মানের সমষ্টি অনুমান করা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, একজন নিরীক্ষকের ক্ষেত্রে, একটি চালানের গড় মূল্য নয়, কিন্তু সমস্ত চালানের যোগফল অনুমান করা আগ্রহের বিষয় হতে পারে।
ধরুন N হল উপাদানের মোট সংখ্যা, n হল নমুনার আকার, T 3 হল নমুনার মানের সমষ্টি, T" হল সমগ্র জনসংখ্যার যোগফলের অনুমান, তারপর 
, এবং আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়, যেখানে s হল নমুনার জন্য আদর্শ বিচ্যুতির অনুমান, নমুনার গড়ের অনুমান।
উদাহরণ
কিছু বলা যাক ট্যাক্স পরিষেবা 10,000 করদাতার জন্য মোট ট্যাক্স রিফান্ডের পরিমাণ অনুমান করতে চায়। করদাতা হয় ফেরত পান বা অতিরিক্ত কর প্রদান করেন। 500 জনের নমুনা আকার অনুমান করে, ফেরতের পরিমাণের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজুন (ফেল REFUND AMOUNT.XLS দেখুন (টেমপ্লেট এবং সমাধান)।
সমাধান
এই ক্ষেত্রে StatPro-তে কোনও বিশেষ পদ্ধতি নেই, তবে, আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে উপরের সূত্রগুলি ব্যবহার করে গড় জন্য সীমা থেকে সীমানা পাওয়া যেতে পারে (চিত্র 98) 
).
অনুপাতের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
p হল গ্রাহকদের একটি শেয়ারের প্রত্যাশা, এবং pv এই শেয়ারের একটি অনুমান, আকার n এর নমুনা থেকে প্রাপ্ত। এটা যথেষ্ট বড় জন্য দেখানো হতে পারে 
গড় p এবং মানক বিচ্যুতি সহ অনুমান বিতরণ স্বাভাবিকের কাছাকাছি হবে 
. অনুমান এর মান ত্রুটি এই ক্ষেত্রেহিসাবে প্রকাশ করা হয় 
, এবং আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হিসাবে 
.
উদাহরণ
ফাস্ট ফুড রেস্তোরাঁটি একটি নতুন ধরনের স্যান্ডউইচের সাথে তার ভাণ্ডার প্রসারিত করার পরিকল্পনা করেছে। এটির চাহিদা অনুমান করার জন্য, ম্যানেজার এলোমেলোভাবে 40 জন দর্শকদের মধ্যে থেকে নির্বাচন করেছেন যারা ইতিমধ্যে এটি চেষ্টা করেছেন এবং তাদের নতুন পণ্যের প্রতি তাদের মনোভাবকে 1 থেকে 10 এর স্কেলে রেট দিতে বলেছেন। ম্যানেজার প্রত্যাশিত অনুপাত অনুমান করতে চান। গ্রাহকদের মধ্যে যারা নতুন পণ্যকে কমপক্ষে 6 পয়েন্টের বেশি রেট দেয় (তিনি আশা করেন এই গ্রাহকরা নতুন পণ্যের গ্রাহক হবেন)।
সমাধান
প্রাথমিকভাবে, আমরা 1 এর ভিত্তিতে একটি নতুন কলাম তৈরি করি যদি ক্লায়েন্টের স্কোর 6 পয়েন্টের বেশি হয় এবং অন্যথায় 0 হয় (SANDWICH2.XLS ফাইলটি দেখুন (টেমপ্লেট এবং সমাধান)।
পদ্ধতি 1
1 পরিমাণ গণনা, আমরা ভাগ অনুমান, এবং তারপর আমরা সূত্র ব্যবহার.
z cr-এর মান বিশেষ সাধারণ বন্টন টেবিল থেকে নেওয়া হয় (উদাহরণস্বরূপ, 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য 1.96)।
একটি 95% ব্যবধান তৈরি করতে এই পদ্ধতি এবং নির্দিষ্ট ডেটা ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি পাই (চিত্র 99 
) প্যারামিটার z cr এর সমালোচনামূলক মান হল 1.96। অনুমানের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি হল 0.077। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের নিম্ন সীমা হল 0.475। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের উপরের সীমা হল 0.775। এইভাবে, একজন ম্যানেজার 95% নিশ্চিততার সাথে অনুমান করতে পারেন যে গ্রাহকদের শতাংশ যারা একটি নতুন পণ্যকে 6 পয়েন্ট বা তার বেশি রেট 47.5 থেকে 77.5 এর মধ্যে হবে।
পদ্ধতি 2
স্ট্যান্ডার্ড স্ট্যাটপ্রো টুল ব্যবহার করে এই সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, এটি লক্ষ করা যথেষ্ট যে এই ক্ষেত্রে শেয়ারটি টাইপ কলামের গড় মানের সাথে মিলে যায়। পরবর্তী আবেদন StatPro/পরিসংখ্যানগত অনুমান/এক-নমুনা বিশ্লেষণটাইপ কলামের গড় মান (প্রত্যাশা অনুমান) এর জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করতে। এই ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ফলাফল 1ম পদ্ধতির ফলাফলের খুব কাছাকাছি হবে (চিত্র 99)।
আদর্শ বিচ্যুতির জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
s মানক বিচ্যুতির অনুমান হিসাবে ব্যবহৃত হয় (সূত্রটি বিভাগ 1 এ দেওয়া হয়েছে)। অনুমান s-এর ঘনত্ব ফাংশন হল চি-স্কোয়ার ফাংশন, যা টি-বন্টনের মতো, n-1 ডিগ্রী স্বাধীনতা রয়েছে। এই বিতরণের সাথে কাজ করার জন্য বিশেষ ফাংশন রয়েছে CHI2DIST (CHIDIST) এবং CHI2OBR (CHIINV)।
এই ক্ষেত্রে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান আর প্রতিসম হবে না। সীমানা শর্তাধীন স্কিম ডুমুর দেখানো হয়. একশত .
উদাহরণ
মেশিনটি 10 সেন্টিমিটার ব্যাস সহ যন্ত্রাংশ তৈরি করতে হবে। যাইহোক, বিভিন্ন পরিস্থিতিতে, ত্রুটি দেখা দেয়। মান নিয়ন্ত্রক দুটি জিনিস সম্পর্কে উদ্বিগ্ন: প্রথম, গড় মান 10 সেমি হওয়া উচিত; দ্বিতীয়ত, এমনকি এই ক্ষেত্রেও, যদি বিচ্যুতি বড় হয়, তাহলে অনেক বিবরণ প্রত্যাখ্যান করা হবে। প্রতিদিন তিনি 50টি অংশের একটি নমুনা তৈরি করেন (ফাইলটি দেখুন কোয়ালিটি কন্ট্রোল.এক্সএলএস (টেমপ্লেট এবং সমাধান)। এই ধরনের নমুনা কী উপসংহার দিতে পারে?
সমাধান
আমরা গড় এবং ব্যবহার করে মানক বিচ্যুতির জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করি StatPro/পরিসংখ্যানগত অনুমান/এক-নমুনা বিশ্লেষণ(চিত্র 101 
).
আরও, ব্যাসের স্বাভাবিক বন্টনের অনুমান ব্যবহার করে, আমরা ত্রুটিপূর্ণ পণ্যের অনুপাত গণনা করি, সর্বোচ্চ বিচ্যুতি 0.065 সেট করে। লুকআপ টেবিলের ক্ষমতা ব্যবহার করে (দুটি প্যারামিটারের ক্ষেত্রে), আমরা গড় মান এবং মানক বিচ্যুতির উপর প্রত্যাখ্যানের শতাংশের নির্ভরতা তৈরি করি (চিত্র 102) 
).
দুটি উপায়ের পার্থক্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
এটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অ্যাপ্লিকেশন এক পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি. পরিস্থিতি উদাহরণ।
একজন পোশাকের দোকানের ম্যানেজার জানতে চান যে একজন পুরুষের তুলনায় গড় মহিলা ক্রেতারা দোকানে কত বেশি বা কম খরচ করে।
দুটি এয়ারলাইন্স একই রুটে উড়ে। একটি ভোক্তা সংস্থা উভয় এয়ারলাইন্সের জন্য গড় প্রত্যাশিত ফ্লাইট বিলম্বের সময়ের মধ্যে পার্থক্য তুলনা করতে চায়।
কোম্পানির জন্য কুপন পাঠায় কিছু বিশেষ ধরনেরএক শহরে পণ্য এবং অন্য শহরে পাঠায় না। পরিচালকরা আগামী দুই মাসে এই আইটেমগুলির গড় ক্রয়ের তুলনা করতে চান।
একজন গাড়ি বিক্রেতা প্রায়ই উপস্থাপনায় বিবাহিত দম্পতিদের সাথে ডিল করে। উপস্থাপনায় তাদের ব্যক্তিগত প্রতিক্রিয়া বোঝার জন্য, দম্পতিদের প্রায়ই আলাদাভাবে সাক্ষাৎকার নেওয়া হয়। ম্যানেজার পুরুষ এবং মহিলাদের দ্বারা প্রদত্ত রেটিং এর পার্থক্য মূল্যায়ন করতে চায়।
স্বাধীন নমুনার কেস
গড় পার্থক্যের n 1 + n 2 - 2 ডিগ্রী স্বাধীনতা সহ একটি টি-বন্টন থাকবে। μ 1 - μ 2 এর আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান অনুপাত দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
এই সমস্যাটি শুধুমাত্র উপরের সূত্রগুলিই নয়, স্ট্যান্ডার্ড স্ট্যাটপ্রো টুলগুলির মাধ্যমেও সমাধান করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, এটি প্রয়োগ করা যথেষ্ট
অনুপাতের মধ্যে পার্থক্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
শেয়ারের গাণিতিক প্রত্যাশা থাকুক। তাদের নমুনা অনুমান যথাক্রমে n 1 এবং n 2 আকারের নমুনার উপর নির্মিত। তারপর পার্থক্য জন্য একটি অনুমান. অতএব, এই পার্থক্যের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানকে এভাবে প্রকাশ করা হয়:
এখানে z cr হল বিশেষ টেবিলের স্বাভাবিক বন্টন থেকে প্রাপ্ত মান (উদাহরণস্বরূপ, 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য 1.96)।
অনুমানের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি এই ক্ষেত্রে সম্পর্ক দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
.
উদাহরণ
দোকান, বড় বিক্রয়ের জন্য প্রস্তুতির জন্য, নিম্নলিখিত পদক্ষেপ নিয়েছে: বিপণন গবেষণা. শীর্ষ 300 জন ক্রেতাকে বাছাই করা হয়েছিল এবং এলোমেলোভাবে 150 জন সদস্যের দুটি গ্রুপে বিভক্ত করা হয়েছিল। সমস্ত নির্বাচিত ক্রেতাদের বিক্রয়ে অংশগ্রহণের জন্য আমন্ত্রণ পাঠানো হয়েছিল, তবে শুধুমাত্র প্রথম গোষ্ঠীর সদস্যদের জন্য একটি 5% ছাড়ের অধিকার দিয়ে একটি কুপন সংযুক্ত করা হয়েছিল। বিক্রয়ের সময়, সমস্ত 300 নির্বাচিত ক্রেতার ক্রয় রেকর্ড করা হয়েছিল। কিভাবে একজন ম্যানেজার ফলাফল ব্যাখ্যা করতে পারেন এবং কুপনিং এর কার্যকারিতা সম্পর্কে একটি রায় দিতে পারেন? (COUPONS.XLS ফাইল দেখুন (টেমপ্লেট এবং সমাধান))।
সমাধান
আমাদের বিশেষ ক্ষেত্রে, 150 জন গ্রাহকের মধ্যে যারা ডিসকাউন্ট কুপন পেয়েছেন, 55 জন বিক্রয়ের উপর একটি ক্রয় করেছেন এবং 150 জনের মধ্যে যারা একটি কুপন পাননি, শুধুমাত্র 35 জন ক্রয় করেছেন (চিত্র 103) 
) তারপর নমুনা অনুপাতের মান যথাক্রমে 0.3667 এবং 0.2333। এবং তাদের মধ্যে নমুনা পার্থক্য যথাক্রমে 0.1333 এর সমান। 95% একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান অনুমান করে, আমরা সাধারণ বন্টন টেবিল z cr = 1.96 থেকে খুঁজে পাই। নমুনা পার্থক্যের মান ত্রুটির গণনা হল 0.0524। অবশেষে, আমরা পাই যে 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের নিম্ন সীমা হল 0.0307, এবং উপরের সীমাটি যথাক্রমে 0.2359। প্রাপ্ত ফলাফলগুলিকে এমনভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে প্রতি 100 জন গ্রাহকের জন্য যারা ডিসকাউন্ট কুপন পেয়েছেন, আমরা 3 থেকে 23 জন নতুন গ্রাহকের কাছ থেকে আশা করতে পারি। যাইহোক, এটি মনে রাখা উচিত যে এই উপসংহারটি নিজেই কুপন ব্যবহার করার দক্ষতা বোঝায় না (কারণ একটি ডিসকাউন্ট প্রদান করে, আমরা লাভ হারাই!) আসুন নির্দিষ্ট ডেটাতে এটি প্রদর্শন করি। এর ভান করা যাক গড় আকারক্রয় 400 রুবেল, যার মধ্যে 50 রুবেল। একটি দোকান লাভ আছে. তাহলে প্রতি 100 জন গ্রাহক যারা কুপন পাননি তাদের প্রত্যাশিত মুনাফা সমান:
50 0.2333 100 \u003d 1166.50 রুবেল।
100 জন ক্রেতার জন্য অনুরূপ গণনা যারা একটি কুপন পেয়েছেন:
30 0.3667 100 \u003d 1100.10 রুবেল।
30-এ গড় মুনাফা হ্রাস এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে, ডিসকাউন্ট ব্যবহার করে, কুপন প্রাপ্ত ক্রেতারা গড়ে 380 রুবেলের জন্য একটি ক্রয় করবে।
সুতরাং, চূড়ান্ত উপসংহার এই বিশেষ পরিস্থিতিতে এই জাতীয় কুপন ব্যবহার করার অদক্ষতা নির্দেশ করে।
মন্তব্য করুন। স্ট্যান্ডার্ড স্ট্যাটপ্রো টুল ব্যবহার করে এই সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, পদ্ধতি দ্বারা দুটি গড় পার্থক্য অনুমান করার সমস্যাটিকে এই সমস্যাটি হ্রাস করা এবং তারপরে প্রয়োগ করা যথেষ্ট। StatPro/পরিসংখ্যানগত অনুমান/দুই-নমুনা বিশ্লেষণদুটি গড় মানের মধ্যে পার্থক্যের জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করতে।
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নিয়ন্ত্রণ
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের দৈর্ঘ্য নির্ভর করে নিম্নলিখিত শর্তাবলী:
সরাসরি ডেটা (মান বিচ্যুতি);
তাত্পর্য স্তর;
সাধারন মাপ.
গড় অনুমানের জন্য নমুনা আকার
আসুন প্রথমে সাধারণ ক্ষেত্রে সমস্যাটি বিবেচনা করি। আমাদের দেওয়া আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের অর্ধেক দৈর্ঘ্যের মানটি B হিসাবে চিহ্নিত করা যাক (চিত্র 104) 
) আমরা জানি যে কিছু র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর গড় মানের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হিসাবে প্রকাশ করা হয় 
, কোথায় 
. অনুমান করা হচ্ছে:
এবং n প্রকাশ করলে আমরা পাই।
দুর্ভাগ্যবশত, আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবল X এর প্রকরণের সঠিক মান জানি না। উপরন্তু, আমরা tc এর মান জানি না কারণ এটি স্বাধীনতার ডিগ্রীর সংখ্যার মাধ্যমে n এর উপর নির্ভর করে। এই পরিস্থিতিতে, আমরা নিম্নলিখিতগুলি করতে পারি। ভ্যারিয়েন্সের পরিবর্তে, আমরা অধ্যয়নের অধীনে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কিছু উপলব্ধ উপলব্ধির জন্য প্রকরণের কিছু অনুমান ব্যবহার করি। t cr মানের পরিবর্তে, আমরা স্বাভাবিক বন্টনের জন্য z cr মান ব্যবহার করি। এটি বেশ গ্রহণযোগ্য, যেহেতু স্বাভাবিক এবং টি-বন্টনের জন্য ঘনত্বের ফাংশনগুলি খুব কাছাকাছি (ছোট n এর ক্ষেত্রে বাদে)। সুতরাং, পছন্দসই সূত্রটি ফর্ম নেয়:
.
যেহেতু সূত্রটি সাধারণভাবে বলতে গেলে, অ-পূর্ণসংখ্যার ফলাফল দেয়, তাই ফলাফলের অতিরিক্ত সহ বৃত্তাকারকে পছন্দসই নমুনার আকার হিসাবে নেওয়া হয়।
উদাহরণ
ফাস্ট ফুড রেস্তোরাঁটি একটি নতুন ধরনের স্যান্ডউইচের সাথে তার ভাণ্ডার প্রসারিত করার পরিকল্পনা করেছে। এটির চাহিদা অনুমান করার জন্য, ম্যানেজার এলোমেলোভাবে যারা ইতিমধ্যে এটি চেষ্টা করেছেন তাদের মধ্য থেকে বেশ কিছু দর্শক নির্বাচন করার পরিকল্পনা করেন এবং তাদের নতুন পণ্যের প্রতি তাদের মনোভাব 1 থেকে 10 এর স্কেলে রেট দিতে বলেন। ম্যানেজার চান প্রত্যাশিত সংখ্যক পয়েন্ট অনুমান করতে যা নতুন পণ্যটি পাবে। তবে, তিনি চান আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের অর্ধেক প্রস্থ যেন 0.3-এর বেশি না হয়। তিনি ভোট দিতে কত দর্শক প্রয়োজন?
নিম্নরূপ:
এখানে r otsভগ্নাংশ p এর একটি অনুমান, এবং B হল আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের দৈর্ঘ্যের একটি প্রদত্ত অর্ধেক। n এর জন্য একটি স্ফীত মান মান ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে r ots= 0.5। এই ক্ষেত্রে, আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের দৈর্ঘ্য p এর কোনো সত্য মানের জন্য প্রদত্ত মান B-এর বেশি হবে না।
উদাহরণ
আগের উদাহরণ থেকে ম্যানেজারকে নতুন ধরনের পণ্য পছন্দ করে এমন গ্রাহকদের অনুপাত অনুমান করার পরিকল্পনা করতে দিন। তিনি একটি 90% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করতে চান যার অর্ধেক দৈর্ঘ্য 0.05 এর কম বা সমান। কত ক্লায়েন্ট এলোমেলোভাবে নমুনা করা উচিত?
সমাধান
আমাদের ক্ষেত্রে, z cr = 1.645 এর মান। অতএব, প্রয়োজনীয় পরিমাণ হিসাবে গণনা করা হয় 
.
যদি ম্যানেজারের বিশ্বাস করার কারণ থাকে যে p-এর কাঙ্খিত মান, উদাহরণস্বরূপ, প্রায় 0.3, তাহলে উপরের সূত্রে এই মানটিকে প্রতিস্থাপিত করে, আমরা 228 নামে এলোমেলো নমুনার একটি ছোট মান পাব।
নির্ণয় করার সূত্র দুটি উপায়ের মধ্যে পার্থক্যের ক্ষেত্রে এলোমেলো নমুনার আকারহিসাবে লেখা:
.
উদাহরণ
কিছু কম্পিউটার কোম্পানির একটি গ্রাহক সেবা কেন্দ্র আছে। ভিতরে সম্প্রতিনিম্ন পরিষেবার মান সম্পর্কে গ্রাহকের অভিযোগের সংখ্যা বৃদ্ধি পেয়েছে। ভিতরে সেবা কেন্দ্রমূলত, দুই ধরনের কর্মচারী কাজ করে: যাদের অভিজ্ঞতা কম, কিন্তু যারা বিশেষ প্রস্তুতিমূলক কোর্স সম্পন্ন করেছেন এবং যাদের বড় সংখ্যা ব্যবহারিক অভিজ্ঞতা, কিন্তু বিশেষ কোর্স সম্পন্ন করা হয়নি। কোম্পানিটি গত ছয় মাসে গ্রাহকের অভিযোগ বিশ্লেষণ করতে চায় এবং কর্মচারীদের দুটি গ্রুপের প্রতি তাদের গড় সংখ্যার তুলনা করতে চায়। ধারণা করা হচ্ছে উভয় গ্রুপের নমুনার সংখ্যা একই হবে। 95% ব্যবধান পেতে নমুনায় কতজন কর্মচারীকে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে যার অর্ধেক দৈর্ঘ্য 2 এর বেশি নয়?
সমাধান
এখানে σ ots হল উভয় র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান বিচ্যুতির একটি অনুমান এই ধারণার অধীনে যে তারা কাছাকাছি। এইভাবে, আমাদের টাস্কে, আমাদের এই অনুমানটি একরকম প্রাপ্ত করতে হবে। এটি করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, নিম্নরূপ। গত ছয় মাসের গ্রাহকের অভিযোগের তথ্যের দিকে তাকালে, একজন ব্যবস্থাপক লক্ষ্য করতে পারেন যে প্রতি কর্মী প্রতি সাধারণত 6 থেকে 36টি অভিযোগ রয়েছে। এটা জেনে যে একটি স্বাভাবিক বন্টনের জন্য, কার্যত সমস্ত মান গড় থেকে তিনটি আদর্শ বিচ্যুতির বেশি নয়, তিনি যুক্তিসঙ্গতভাবে বিশ্বাস করতে পারেন যে:
, যেখান থেকে σ ots = 5।
সূত্রে এই মান প্রতিস্থাপন, আমরা পেতে 
.
নির্ণয় করার সূত্র শেয়ারের মধ্যে পার্থক্য অনুমান করার ক্ষেত্রে একটি এলোমেলো নমুনার আকারদেখতে:
উদাহরণ
কিছু কোম্পানির অনুরূপ পণ্য উৎপাদনের জন্য দুটি কারখানা আছে। একটি কোম্পানির ব্যবস্থাপক উভয় কারখানার ত্রুটির হার তুলনা করতে চান। উপলব্ধ তথ্য অনুযায়ী, উভয় কারখানায় প্রত্যাখ্যানের হার 3 থেকে 5% পর্যন্ত। এটি 0.005 (বা 0.5%) এর অর্ধ দৈর্ঘ্যের সাথে একটি 99% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করার কথা। প্রতিটি কারখানা থেকে কত পণ্য নির্বাচন করা উচিত?
সমাধান
এখানে p 1ot এবং p 2ot হল ১ম এবং ২য় কারখানায় প্রত্যাখ্যানের দুটি অজানা ভগ্নাংশের অনুমান। যদি আমরা p 1ots \u003d p 2ots \u003d 0.5 রাখি, তাহলে আমরা n-এর জন্য একটি অতিমূল্যায়িত মান পাব। কিন্তু যেহেতু আমাদের ক্ষেত্রে এই শেয়ারগুলি সম্পর্কে আমাদের কাছে কিছু অগ্রাধিকার তথ্য রয়েছে, তাই আমরা এই শেয়ারগুলির ঊর্ধ্ব অনুমান গ্রহণ করি, যথা 0.05৷ আমরা পেতে
নমুনা ডেটা থেকে কিছু জনসংখ্যার পরামিতি অনুমান করার সময়, প্যারামিটারের শুধুমাত্র একটি বিন্দু অনুমান নয়, একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানও প্রদান করা দরকারী যা দেখায় যে প্যারামিটারটির সঠিক মান অনুমান করা হচ্ছে কোথায় থাকতে পারে।
এই অধ্যায়ে, আমরা পরিমাণগত সম্পর্কের সাথেও পরিচিত হয়েছি যা আমাদের বিভিন্ন পরামিতির জন্য এই ধরনের ব্যবধান তৈরি করতে দেয়; আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের দৈর্ঘ্য নিয়ন্ত্রণ করার উপায় শিখেছি।
আমরা আরও লক্ষ করি যে নমুনার আকার অনুমান করার সমস্যা (পরীক্ষা পরিকল্পনা সমস্যা) স্ট্যান্ডার্ড স্ট্যাটপ্রো টুল ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে, যথা StatPro/পরিসংখ্যানগত অনুমান/নমুনা আকার নির্বাচন.
গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান - এটি ডেটা থেকে গণনা করা এমন একটি ব্যবধান, যা একটি পরিচিত সম্ভাব্যতার সাথে সাধারণ জনগণের গাণিতিক প্রত্যাশা ধারণ করে। গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য প্রাকৃতিক অনুমান হল তার পর্যবেক্ষণ করা মানগুলির গাণিতিক গড়। অতএব, আরও পাঠের সময় আমরা "গড়", "গড় মান" শব্দগুলি ব্যবহার করব। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করার সমস্যাগুলিতে, প্রায়শই যে উত্তরটি প্রয়োজন হয় তা হল "গড় সংখ্যার আস্থার ব্যবধান [একটি নির্দিষ্ট সমস্যায় মান] হল [ছোট মান] থেকে [ বৃহত্তর মানআত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সাহায্যে, শুধুমাত্র গড় মানই নয়, সাধারণ জনসংখ্যার এক বা অন্য বৈশিষ্ট্যের অনুপাতও মূল্যায়ন করা সম্ভব। গড় মান, প্রকরণ, মান বিচ্যুতি এবং ত্রুটি, যার মাধ্যমে আমরা নতুন সংজ্ঞা এবং সূত্রে আসবে, পাঠে বিশ্লেষণ করা হয়েছে নমুনা এবং জনসংখ্যার বৈশিষ্ট্য .
গড় বিন্দু এবং ব্যবধান অনুমান
যদি সাধারণ জনসংখ্যার গড় মান একটি সংখ্যা (বিন্দু) দ্বারা অনুমান করা হয়, তবে পর্যবেক্ষণের নমুনা থেকে গণনা করা একটি নির্দিষ্ট গড় সাধারণ জনসংখ্যার অজানা গড়ের অনুমান হিসাবে নেওয়া হয়। এই ক্ষেত্রে, নমুনার গড় মান - একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল - সাধারণ জনসংখ্যার গড় মানের সাথে মিলে না। অতএব, নমুনার গড় মান নির্দেশ করার সময়, একই সময়ে নমুনা ত্রুটি নির্দেশ করাও প্রয়োজন। স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি নমুনা ত্রুটির পরিমাপ হিসাবে ব্যবহৃত হয়, যা গড় হিসাবে একই ইউনিটে প্রকাশ করা হয়। অতএব, নিম্নলিখিত স্বরলিপি প্রায়ই ব্যবহৃত হয়: .
যদি গড় অনুমান একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে যুক্ত করার প্রয়োজন হয়, তাহলে আগ্রহের সাধারণ জনসংখ্যার প্যারামিটারটি একটি একক সংখ্যা দ্বারা নয়, একটি ব্যবধান দ্বারা অনুমান করা উচিত। একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হল একটি ব্যবধান যেখানে, একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা সহ, পৃসাধারণ জনসংখ্যার আনুমানিক সূচকের মান পাওয়া যায়। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান যার মধ্যে সম্ভাবনা আছে পৃ = 1 - α একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, নিম্নরূপ গণনা করা হয়:
,
α = 1 - পৃ, যা পরিসংখ্যান সম্পর্কিত প্রায় যেকোনো বইয়ের পরিশিষ্টে পাওয়া যাবে।
বাস্তবে, জনসংখ্যার গড় এবং প্রকরণ জানা যায় না, তাই জনসংখ্যার বৈচিত্রটি নমুনা প্রকরণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং জনসংখ্যার গড় নমুনা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। সুতরাং, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নিম্নরূপ গণনা করা হয়:
.
আস্থার ব্যবধান সূত্রটি জনসংখ্যার গড় অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যদি
- সাধারণ জনগণের আদর্শ বিচ্যুতি জানা যায়;
- বা জনসংখ্যার মান বিচ্যুতি জানা যায় না, তবে নমুনার আকার 30-এর বেশি।
নমুনা গড় হল জনসংখ্যা গড় একটি নিরপেক্ষ অনুমান। ঘুরে, নমুনা বৈচিত্র্য 
জনসংখ্যার বৈচিত্র্যের একটি নিরপেক্ষ অনুমান নয়। নমুনা প্রকরণ সূত্রে জনসংখ্যার বৈচিত্র্যের একটি নিরপেক্ষ অনুমান পেতে, নমুনার আকার হল nদিয়ে প্রতিস্থাপন করা উচিত n-1.
উদাহরণ 1একটি নির্দিষ্ট শহরের 100টি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত ক্যাফে থেকে তথ্য সংগ্রহ করা হয় যে তাদের মধ্যে কর্মচারীর গড় সংখ্যা 4.6 এর মান বিচ্যুতি সহ 10.5। ক্যাফে কর্মচারীদের সংখ্যার 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্ধারণ করুন।
তাত্পর্য স্তরের জন্য আদর্শ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মান কোথায় α = 0,05 .
এইভাবে, ক্যাফে কর্মচারীদের গড় সংখ্যার জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান ছিল 9.6 থেকে 11.4 এর মধ্যে।
উদাহরণ 2 64টি পর্যবেক্ষণের সাধারণ জনসংখ্যা থেকে একটি এলোমেলো নমুনার জন্য, নিম্নলিখিত মোট মানগুলি গণনা করা হয়েছিল:
পর্যবেক্ষণে মানের সমষ্টি,
গড় থেকে মানের বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফল 
.
প্রত্যাশিত মানের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করুন।
আদর্শ বিচ্যুতি গণনা করুন:
,
গড় মান গণনা করুন:
.
আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য অভিব্যক্তিতে মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন:
তাত্পর্য স্তরের জন্য আদর্শ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মান কোথায় α = 0,05 .
আমরা পেতে:
এইভাবে, এই নমুনার গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান 7.484 থেকে 11.266 পর্যন্ত।
উদাহরণ 3 100টি পর্যবেক্ষণের একটি সাধারণ জনসংখ্যা থেকে একটি এলোমেলো নমুনার জন্য, 15.2 এর গড় মান এবং 3.2 এর একটি আদর্শ বিচ্যুতি গণনা করা হয়েছিল। প্রত্যাশিত মানের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করুন, তারপর 99% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান। যদি নমুনা শক্তি এবং এর বৈচিত্র একই থাকে, কিন্তু আত্মবিশ্বাসের ফ্যাক্টর বৃদ্ধি পায়, তাহলে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান কি সংকীর্ণ বা প্রশস্ত হবে?
আমরা এই মানগুলিকে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করি:
তাত্পর্য স্তরের জন্য আদর্শ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মান কোথায় α = 0,05 .
আমরা পেতে:
.
এইভাবে, এই নমুনার গড় জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান ছিল 14.57 থেকে 15.82 পর্যন্ত।
আবার, আমরা এই মানগুলিকে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করি:
তাত্পর্য স্তরের জন্য আদর্শ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মান কোথায় α = 0,01 .
আমরা পেতে:
.
এইভাবে, এই নমুনার গড় জন্য 99% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান ছিল 14.37 থেকে 16.02 পর্যন্ত।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আত্মবিশ্বাসের ফ্যাক্টর বাড়ার সাথে সাথে মানক স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মানও বৃদ্ধি পায়, এবং তাই, ব্যবধানের শুরু এবং শেষ বিন্দুগুলি গড় থেকে আরও দূরে অবস্থিত, এবং এইভাবে গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আস্থার ব্যবধান। বৃদ্ধি পায়
নির্দিষ্ট মাধ্যাকর্ষণ বিন্দু এবং ব্যবধান অনুমান
নমুনার কিছু বৈশিষ্ট্যের ভাগকে একটি বিন্দু অনুমান হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে আপেক্ষিক গুরুত্ব পিসাধারণ জনগণের মধ্যে একই বৈশিষ্ট্য। যদি এই মানটিকে সম্ভাব্যতার সাথে যুক্ত করার প্রয়োজন হয়, তাহলে নির্দিষ্ট মাধ্যাকর্ষণটির আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করা উচিত পিএকটি সম্ভাবনা সহ সাধারণ জনসংখ্যার বৈশিষ্ট্য পৃ = 1 - α :
.
উদাহরণ 4একটি নির্দিষ্ট সিটিতে দুজন প্রার্থী রয়েছেন কএবং খমেয়র পদে লড়ছেন। শহরের 200 জন বাসিন্দাকে এলোমেলোভাবে ভোট দেওয়া হয়েছিল, যার মধ্যে 46% উত্তর দিয়েছিল যে তারা প্রার্থীকে ভোট দেবে ক, 26% - প্রার্থীর জন্য খএবং 28% জানেন না তারা কাকে ভোট দেবেন। প্রার্থীকে সমর্থনকারী শহরের বাসিন্দাদের অনুপাতের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্ধারণ করুন ক.
ধরুন আমাদের কাছে কিছু বৈশিষ্ট্যের স্বাভাবিক বন্টন সহ বিপুল সংখ্যক বস্তু রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, সম্পূর্ণ গুদামএকই ধরণের শাকসবজি, যার আকার এবং ওজন পরিবর্তিত হয়)। আপনি পণ্যের সমগ্র ব্যাচের গড় বৈশিষ্ট্য জানতে চান, কিন্তু প্রতিটি সবজির পরিমাপ ও ওজন করার সময় বা প্রবণতা আপনার কাছে নেই। আপনি বুঝতে পারেন যে এটি প্রয়োজনীয় নয়। কিন্তু এলোমেলো পরিদর্শনের জন্য আপনাকে কতগুলি টুকরা নিতে হবে? এই পরিস্থিতির জন্য দরকারী কিছু সূত্র দেওয়ার আগে, আমরা কিছু স্বরলিপি স্মরণ করি। প্রথমত, আমরা যদি সবজির সম্পূর্ণ গুদাম পরিমাপ করি (উপাদানের এই সেটটিকে সাধারণ জনসংখ্যা বলা হয়), তাহলে আমরা আমাদের কাছে উপলব্ধ সমস্ত নির্ভুলতার সাথে পুরো ব্যাচের ওজনের গড় মান জানতে পারব। আসুন এই গড় কল X গড় জিন. - সাধারণ গড়. আমরা ইতিমধ্যে জানি যে এর গড় মান এবং বিচ্যুতিগুলি জানা থাকলে কী সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হয়। সত্য, এখনও পর্যন্ত আমরা সাধারণ জনসংখ্যার X গড় জিন বা গুলি জানি না। আমরা শুধুমাত্র কিছু নমুনা নিতে পারি, আমাদের প্রয়োজনীয় মানগুলি পরিমাপ করতে পারি এবং এই নমুনার জন্য গড় মান X গড় এবং আদর্শ বিচ্যুতি S vyb উভয়ই গণনা করতে পারি। এটা জানা যায় যে যদি আমাদের নমুনা পরীক্ষায় প্রচুর পরিমাণে উপাদান থাকে (সাধারণত n 30 এর বেশি), এবং সেগুলি সত্যিই এলোমেলোভাবে নেওয়া হয়, তাহলে জনসংখ্যার s প্রায় S নমুনা থেকে আলাদা হবে না। উপরন্তু, এর ক্ষেত্রে একটি স্বাভাবিক বন্টন, আমরা নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করতে পারেন:
95% এর সম্ভাবনা সহ
99% এর সম্ভাবনা সহ
.
t এর মান এবং P(t) সম্ভাব্যতার মানের মধ্যে সম্পর্ক, যার সাথে আমরা আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান জানতে চাই, নিম্নলিখিত টেবিল থেকে নেওয়া যেতে পারে:
| পি(টি) | 0,683 | 0,950 | 0,954 | 0,990 | 0,997 |
| t | 1,00 | 1,96 | 2,00 | 2,58 | 3,00 |
এইভাবে, আমরা নির্ধারণ করেছি সাধারণ জনসংখ্যার গড় মান কী পরিসরে (একটি প্রদত্ত সম্ভাব্যতার সাথে)।
যদি আমাদের কাছে যথেষ্ট বড় নমুনা না থাকে তবে আমরা দাবি করতে পারি না যে জনসংখ্যার s = S নমুনা রয়েছে। উপরন্তু, এই ক্ষেত্রে, স্বাভাবিক বন্টন নমুনার ঘনিষ্ঠতা সমস্যাযুক্ত। এই ক্ষেত্রে, সূত্রে s এর পরিবর্তে S s ব্যবহার করুন:
কিন্তু একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতার জন্য t এর মান P(t) নমুনা n এর উপাদানের সংখ্যার উপর নির্ভর করবে। n যত বড় হবে, ফলে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তত বেশি হবে সূত্র (1) দ্বারা প্রদত্ত মানের। এই ক্ষেত্রে টি মানগুলি অন্য টেবিল থেকে নেওয়া হয়েছে (ছাত্রের টি-পরীক্ষা), যা আমরা নীচে প্রদান করছি:
সম্ভাব্যতা 0.95 এবং 0.99 এর জন্য শিক্ষার্থীর টি-পরীক্ষার মান
| n | পৃ | n | পৃ | ||
| 0.95 | 0.99 | 0.95 | 0.99 | ||
| 2 | 12.71 | 63.66 | 18 | 2.11 | 2.90 |
| 3 | 4.30 | 9.93 | 19 | 2.10 | 2.88 |
| 4 | 3.18 | 5.84 | 20 | 2.093 | 2.861 |
| 5 | 2.78 | 4.60 | 25 | 2.064 | 2.797 |
| 6 | 2.57 | 4.03 | 30 | 2.045 | 2.756 |
| 7 | 2.45 | 3.71 | 35 | 2.032 | 2.720 |
| 8 | 2.37 | 3.50 | 40 | 2.022 | 2.708 |
| 9 | 2.31 | 3.36 | 45 | 2.016 | 2.692 |
| 10 | 2.26 | 3.25 | 50 | 2.009 | 2.679 |
| 11 | 2.23 | 3.17 | 60 | 2.001 | 2.662 |
| 12 | 2.20 | 3.11 | 70 | 1.996 | 2.649 |
| 13 | 2.18 | 3.06 | 80 | 1.991 | 2.640 |
| 14 | 2.16 | 3.01 | 90 | 1.987 | 2.633 |
| 15 | 2.15 | 2.98 | 100 | 1.984 | 2.627 |
| 16 | 2.13 | 2.95 | 120 | 1.980 | 2.617 |
| 17 | 2.12 | 2.92 | >120 | 1.960 | 2.576 |
উদাহরণ 3কোম্পানির কর্মচারীদের মধ্য থেকে 30 জনকে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত করা হয়েছিল। নমুনা অনুসারে, দেখা গেল যে গড় বেতন (প্রতি মাসে) 10 হাজার রুবেল যার গড় বর্গ বিচ্যুতি 3 হাজার রুবেল। 0.99 এর সম্ভাব্যতার সাথে ফার্মে গড় বেতন নির্ধারণ করুন। সমাধান:শর্ত অনুসারে, আমাদের n = 30, X cf আছে। =10000, S=3000, P=0.99। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজে পেতে, আমরা শিক্ষার্থীর মানদণ্ডের সাথে সম্পর্কিত সূত্রটি ব্যবহার করি। n \u003d 30 এবং P \u003d 0.99 এর টেবিল অনুসারে আমরা t \u003d 2.756 খুঁজে পাই, তাই,
সেগুলো. কাঙ্ক্ষিত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান 27484< Х ср.ген < 32516.
সুতরাং, 0.99 এর সম্ভাব্যতার সাথে, এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে ব্যবধান (27484; 32516) কোম্পানির গড় বেতন ধারণ করে।
আমরা আশা করি যে আপনি প্রতিবার আপনার সাথে একটি স্প্রেডশীট না রেখেই এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করবেন৷ এক্সেল এ স্বয়ংক্রিয়ভাবে গণনা করা যেতে পারে। একটি Excel ফাইলে থাকাকালীন, উপরের মেনুতে fx বোতামে ক্লিক করুন। তারপর, ফাংশনগুলির মধ্যে "পরিসংখ্যানগত" টাইপ নির্বাচন করুন এবং বাক্সে প্রস্তাবিত তালিকা থেকে - STEUDRASP। তারপর, প্রম্পটে, "সম্ভাব্যতা" ক্ষেত্রে কার্সার রেখে, পারস্পরিক সম্ভাব্যতার মান টাইপ করুন (অর্থাৎ, আমাদের ক্ষেত্রে, 0.95 এর সম্ভাব্যতার পরিবর্তে, আপনাকে 0.05 এর সম্ভাব্যতা টাইপ করতে হবে)। স্পষ্টতই, স্প্রেডশীটটি এমনভাবে ডিজাইন করা হয়েছে যাতে ফলাফলটি আমাদের কতটা ভুল হতে পারে সেই প্রশ্নের উত্তর দেয়। একইভাবে, "স্বাধীনতার ডিগ্রি" ক্ষেত্রে, আপনার নমুনার জন্য মান (n-1) লিখুন।
