Приоритетность на эффективность работы смо разных типов. Структура и показатели эффективности систем массового обслуживания
4. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
4.1. Классификация систем массового обслуживания и их показатели эффективности
Системы, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства для обслуживания этих заявок, называются системами массового обслуживания (СМО).
СМО могут быть классифицированы по признаку организации обслуживания следующим образом:
Системы с отказами не имеют очередей.
Системы с ожиданием имеют очереди.
Заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты:
Покидает систему с отказами;
Становится в очередь на обслуживание в системах с ожиданием при неограниченной очереди или на свободное место при ограниченной очереди;
Покидает систему с ожиданием при ограниченной очереди, если в этой очереди нет свободного места.
В качестве меры эффективности экономической СМО рассматривают сумму потерь времени:
На ожидание в очереди;
На простои каналов обслуживания.
Для всех видов СМО используются следующие показатели эффективности :
- относительная пропускная способность - это средняя доля поступающих заявок, обслуживаемых системой;
- абсолютная пропускная способность - это среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;
- вероятность отказа - это вероятность того, что заявка покинет систему без обслуживания;
- среднее число занятых каналов - для многоканальных СМО.
Показатели эффективности СМО рассчитываются по формулам из специальных справочников (таблиц). Исходными данными для таких расчетов являются результаты моделирования СМО.
4.2. Моделирование системы массового обслуживания:
основные параметры, граф состояний
При всем многообразии СМО они имеют общие черты , которые позволяют унифицировать их моделирование для нахождения наиболее эффективных вариантов организации таких систем .
Для моделирования СМО необходимо иметь следующие исходные данные:
Основные параметры;
Граф состояний.
Результатами моделирования СМО являются вероятности ее состояний, через которые выражаются все показатели ее эффективности.
Основные параметры для моделирования СМО включают:
Характеристики входящего потока заявок на обслуживание;
Характеристики механизма обслуживания.
Рассмотрим характеристики потока заявок .
Поток заявок - последовательность заявок, поступающих на обслуживание.
Интенсивность потока заявок - среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.
Потоки заявок бывают простейшими и отличными от простейших.
Для простейших потоков заявок используются модели СМО.
Простейшим , или пуассоновским называется поток, являющийся стационарным , одинарным и в нем отсутствуют последействия .
Стационарность означает неизменность интенсивности поступления заявок с течением времени.
Одинарным поток заявок является в том случае, когда за малый промежуток времени вероятность поступления более чем одной заявки близка к нулю.
Отсутствие последействия заключается в том, что число заявок, поступивших в СМО за один интервал времени, не влияет на количество заявок, полученных за другой интервал времени.
Для отличных от простейших потоков заявок используются имитационные модели.
Рассмотрим характеристики механизма обслуживания .
Механизм обслуживания характеризуется:
- числом каналов обслуживания ;
Производительностью канала, или интенсивностью обслуживания - средним числом заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу времени;
Дисциплиной очереди (например, объемом очереди , порядком отбора из очереди в механизм обслуживания и т. п.).
Граф состояний описывает функционирование системы обслуживания как переходы из одного состояния в другое под действием потока заявок и их обслуживания.
Для построения графа состояний СМО необходимо:
Составить перечень всех возможных состояний СМО;
Представить перечисленные состояния графически и отобразить возможные переходы между ними стрелками;
Взвесить отображенные стрелки, т. е. приписать им числовые значения интенсивностей переходов, определяемые интенсивностью потока заявок и интенсивностью их обслуживания.
4.3. Вычисление вероятностей состояний
системы массового обслуживания
Граф состояний СМО со схемой "гибели и рождения"
представляет собой линейную цепочку, где каждое из средних состояний имеет прямую и обратную связь с каждым из соседних состояний, а крайние состояния только с одним соседним:
Число состояний в графе на единицу больше, чем суммарное число каналов обслуживания и мест в очереди.
СМО может быть в любом из своих возможных состояний, поэтому ожидаемая интенсивность выхода из какого-либо состояния равна ожидаемой интенсивности входа системы в это состояние. Отсюда система уравнений для определения вероятностей состояний при простейших потоках будет иметь вид:
где - вероятность того, что система находится в состоянии
- интенсивность перехода, или среднее число переходов системы в единицу времени из состояния в состояние .
Используя эту систему уравнений, а также уравнение
вероятность любого -ого состояния можно вычислить по следующему общему правилу :
вероятность нулевого состояния рассчитывается как
а затем берется дробь, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей потоков по стрелкам, ведущим слева направо от состояния до состояния а в знаменателе - произведение всех интенсивностей по стрелкам, идущим справа налево от состояния до состояния , и эта дробь умножается на рассчитанную вероятность
Выводы по четвертому разделу
Системы массового обслуживания имеют один или несколько каналов обслуживания и могут иметь ограниченную или неограниченную очередь (системы с ожиданием) заявок на обслуживание, не иметь очереди (системы с отказами). Заявки на обслуживание возникают в случайные моменты времени. Системы массового обслуживания характеризуются следующими показателями эффективности: относительная пропускная способность, абсолютная пропускная способность, вероятность отказа, среднее число занятых каналов.
Моделирование систем массового обслуживания осуществляется для нахождения наиболее эффективных вариантов их организации и предполагает следующие исходные данные для этого: основные параметры, граф состояний. К таким данным относятся следующие: интенсивность потока заявок, количество каналов обслуживания, интенсивность обслуживания и объем очереди. Число состояний в графе на единицу больше, чем сумма числа каналов обслуживания и мест в очереди.
Вычисление вероятностей состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения» осуществляется по общему правилу.
Вопросы для самопроверки
Какие системы называются системами массового обслуживания?
Как классифицируются системы массового обслуживания по признаку их организации?
Какие системы массового обслуживания называются системами с отказами, а какие – с ожиданием?
Что происходит с заявкой, поступившей в момент времени, когда все каналы обслуживания заняты?
Что рассматривают в качестве меры эффективности экономической системы массового обслуживания?
Какие используются показатели эффективности системы массового обслуживания?
Что служит исходными данными для расчетов показателей эффективности систем массового обслуживания?
Какие исходные данные необходимы для моделирования систем массового обслуживания?
Через какие результаты моделирования системы массового обслуживания выражают все показатели ее эффективности?
Что включают основные параметры для моделирования систем массового обслуживания?
Чем характеризуются потоки заявок на обслуживание?
Чем характеризуются механизмы обслуживания?
Что описывает граф состояний системы массового обслуживания
Что необходимо для построения графа состояний системы массового обслуживания?
Что представляет собой граф состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения»?
Чему равно число состояний в графе состояний системы массового обслуживания?
Какой вид имеет система уравнений для определения вероятностей состояний системы массового обслуживания?
По какому общему правилу вычисляется вероятность любого состояния системы массового обслуживания?
Примеры решения задач
1. Построить граф состояний системы массового обслуживания и привести основные зависимости ее показателей эффективности.
а) n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
Основные параметры:
Каналов ,
Интенсивность потока ,
Интенсивность обслуживания .
Возможные состояния системы:
Все каналов заняты ( заявок в системе).
Граф состояний:
Относительная пропускная способность ,
Вероятность отказа ,
Среднее число занятых каналов .
б) n-канальная СМО с m-ограниченной очередью
Возможные состояния системы:
Все каналы свободны (ноль заявок в системе);
Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);
Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);
...................................................................................
Все каналы заняты, две заявки в очереди;
Все каналы заняты, заявок в очереди.
Граф состояний:
в) Одноканальная СМО с неограниченной очередью
Возможные состояния системы:
Все каналы свободны (ноль заявок в системе);
Канал занят, ноль заявок в очереди;
Канал занят, одна заявка в очереди;
...................................................................................
Канал занят, заявка в очереди;
....................................................................................
Граф состояний:
Показатели эффективности системы:
,
Среднее время пребывания заявки в системе 
,
,
,
Абсолютная пропускная способность ,
Относительная пропускная способность .
г) n-канальная СМО с неограниченной очередью
Возможные состояния системы:
Все каналы свободны (ноль заявок в системе);
Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);
Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);
...................................................................................
Все каналов заняты ( заявок в системе), ноль заявок в очереди;
Все каналы заняты, одна заявка в очереди;
....................................................................................
Все каналы заняты, заявок в очереди;
....................................................................................
Граф состояний:
Показатели эффективности системы:
Среднее число занятых каналов ,
Среднее число заявок в системе ,
Среднее число заявок в очереди ,
Среднее время пребывания заявки в очереди .
2. Вычислительный центр имеет три ЭВМ. В центр поступает на решение в среднем четыре задачи в час. Среднее время решения одной задачи - полчаса. Вычислительный центр принимает и ставит в очередь на решение не более трех задач. Необходимо оценить эффективность центра.
РЕШЕНИЕ. Из условия ясно, что имеем многоканальную СМО с ограниченной очередью:
Число каналов ;
Интенсивность потока заявок (задача / час);
Время обслуживания одной заявки (час / задача), интенсивность обслуживания (задача / час);
Длина очереди .
Перечень возможных состояний:
Заявок нет, все каналы свободны;
Один канал занят, два свободны;
Два канала заняты, один свободен;
Три канала заняты;
Три канала заняты, одна заявка в очереди;
Три канала заняты, две заявки в очереди;
Три канала заняты, три заявки в очереди.
Граф состояний:
Рассчитаем вероятность состояния :
Показатели эффективности:
Вероятность отказа (все три ЭВМ заняты и три заявки стоят в очереди)
Относительная пропускная способность
Абсолютная пропускная способность
Среднее число занятых ЭВМ
3. (Задача с использованием СМО с отказами.) В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, деталь пройдет ОТК необслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы (* - заданное значение ).
РЕШЕНИЕ. По условию задачи , тогда .
1) Вероятность простоя каналов обслуживания:
,
3) Вероятность обслуживания:
4) Среднее число занятых обслуживанием каналов:
.
5) Доля каналов, занятых обслуживанием:
6) Абсолютная пропускная способность:
При . Произведя аналогичные расчеты для , получим
Так как , то произведя расчеты для , получим
ОТВЕТ. Вероятность того, что при деталь пройдет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%.
Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти контролеров.
4. (Задача с использованием СМО с неограниченным ожиданием.) Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров () для обслуживания вкладчиков . Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного вкладчика мин.
Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.
РЕШЕНИЕ. Интенсивность потока обслуживания , интенсивность нагрузки .
1) Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня (см. предыдущую задачу №3):
.
2) Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:
.
3) Вероятность очереди:
.
4) Среднее число заявок в очереди:
.
5) Среднее время ожидания заявки в очереди:
мин.
6) Среднее время пребывания заявки в СМО:
7) Среднее число свободных каналов:
.
8) Коэффициент занятости каналов обслуживания:
.
9) Среднее число посетителей в сберкассе:
ОТВЕТ. Вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего времени , вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания 0,472 мин.
5. (Задача с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.) Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью машин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами (). В магазине работают три фасовщика (), каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч.
Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была .
РЕШЕНИЕ. Определим интенсивность загрузки фасовщиков:
Авт./дн.
1) Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок):
причем 0!=1,0.
2) Вероятность отказа в обслуживании:
.
3) Вероятность обслуживания:
Так как 
, произведем аналогичные вычисления для , получим), при этом вероятность полной обработки товара будет .
Задания для самостоятельной работы
Для каждой из следующих ситуаций определить:
a) к какому классу относится объект СМО;
b) число каналов ;
c) длину очереди ;
d)интенсивность потока заявок ;
e) интенсивность обслуживания одним каналом;
f) количество всех состояний объекта СМО.
В ответах указать значения по каждому пункту, используя следующие сокращения и размерности:
a) ОО – одноканальная с отказами; МО – многоканальная с отказами; ОЖО – одноканальная с ожиданием с ограниченной очередью; ОЖН - одноканальная с ожиданием с неограниченной очередью; МЖО – многоканальная с ожиданием с ограниченной очередью; МЖН - многоканальная с ожиданием с неограниченной очередью;
b) =… (единиц);
c) =… (единиц);
d) =ххх/ххх (единиц /мин);
e) =ххх/ххх (единиц /мин);
f) (единиц).
1. Дежурный по администрации города имеет пять телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.
2. На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.
3. АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На станцию поступает в среднем 10 вызовов в сек.
4. В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно. Ожидающие обслуживания сухогрузы стоят на рейде.
5. В службе «Скорой помощи» поселка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.
6. Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетителей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин. Длина очереди на обслуживание считается неограниченной.
7. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин.
8. На вокзале в мастерской бытового обслуживания работают три мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.
9. АТС поселка обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Время переговоров в среднем составляет около 3 мин. Вызовы на станцию поступают в среднем через 2 мин.
10. На автозаправочной станции (АЗС) имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более одной машины, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю станцию. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин.
11. В небольшом магазине покупателей обслуживают два продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя – 4 мин. Интенсивность потока покупателей – 3 человека в минуту. Вместимость магазина такова, что одновременно в нем в очереди могут находиться не более 5 человек. Покупатель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже стоят 5 человек, не ждет снаружи и уходит.
12. Железнодорожную станцию дачного поселка обслуживает касса с двумя окнами. В выходные дни, когда население активно пользуется железной дорогой, интенсивность потока пассажиров составляет 0,9 чел./мин. Кассир затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2 мин.
Для каждой из указанных в вариантах СМО интенсивность потока заявок равна и интенсивность обслуживания одним каналом . Требуется:
Составить перечень возможных состояний;
Построить граф состояний по схеме "гибели и размножения".
В ответе указать для каждой задачи:
Количество состояний системы;
Интенсивность перехода из последнего состояния в предпоследнее.
Вариант № 1
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 1 заявку
2. 2-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 31-канальная СМО с 1-ограниченной очередью
5. 31-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 2
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 2 заявки
2. 3-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 30-канальная СМО с 2-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 30-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 3
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 3 заявки
2. 4-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 29-канальная СМО с 3-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 29-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 4
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 4 заявки
2. 5-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 28-канальная СМО с 4-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 28-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 5
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 5 заявок
2. 6-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 27-канальная СМО с 5-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 27-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 6
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 6 заявок
2. 7-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 26-канальная СМО с 6-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 26-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 7
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 7 заявок
2. 8-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 25-канальная СМО с 7-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 25-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 8
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 8 заявок
2. 9-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 24-канальная СМО с 8-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 24-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 9
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 9 заявок
2. 10-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 23-канальная СМО с 9-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 23-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 10
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 10 заявок
2. 11-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 22-канальная СМО с 10-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 22-канальная СМО с неограниченной очередью
Рассмотренный в предыдущей лекции марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания (СМО).
Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.
Примерами систем массового обслуживания могут служить:
- расчетно-кассовые узлы в банках, на предприятиях;
- персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
- станции технического обслуживания автомобилей; АЗС;
- аудиторские фирмы;
- отделы налоговых инспекций, занимающиеся приёмкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
- телефонные станции и т. д.
Узлы |
Требования |
|
Больница |
Санитары |
Пациенты |
Производство |
||
Аэропорт |
Выходы на взлетно-посадочные полосы Пункты регистрации |
Пассажиры |
Рассмотрим схему работы СМО (рис. 1). Система состоит из генератора заявок, диспетчера и узла обслуживания, узла учета отказов (терминатора, уничтожителя заявок). Узел обслуживания в общем случае может иметь несколько каналов обслуживания.
Рис. 1
- Генератор заявок – объект, порождающий заявки: улица, цех с установленными агрегатами. На вход поступает поток заявок (поток покупателей в магазин, поток сломавшихся агрегатов (машин, станков) на ремонт, поток посетителей в гардероб, поток машин на АЗС и т. д.).
- Диспетчер – человек или устройство, которое знает, что делать с заявкой. Узел, регулирующий и направляющий заявки к каналам обслуживания. Диспетчер:
- принимает заявки;
- формирует очередь, если все каналы заняты;
- направляет их к каналам обслуживания, если есть свободные;
- дает заявкам отказ (по различным причинам);
- принимает информацию от узла обслуживания о свободных каналах;
- следит за временем работы системы.
- Очередь – накопитель заявок. Очередь может отсутствовать.
- Узел обслуживания состоит из конечного числа каналов обслуживания. Каждый канал имеет 3 состояния: свободен, занят, не работает. Если все каналы заняты, то можно придумать стратегию, кому передавать заявку.
- Отказ от обслуживания наступает, если все каналы заняты (некоторые в том числе могут не работать).
Кроме этих основных элементов в СМО в некоторых источниках выделяются также следующие составляющие:
терминатор – уничтожитель трансактов;
склад – накопитель ресурсов и готовой продукции;
счет бухгалтерского учета – для выполнения операций типа «проводка»;
менеджер – распорядитель ресурсов;
Классификация СМО
Первое деление (по наличию очередей):
- СМО с отказами;
- СМО с очередью.
В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.
В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.
СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь, – ограничена или не ограничена . Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».
Итак, например, рассматриваются следующие СМО:
- СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
- СМО с обслуживанием с приоритетом, т. е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т. д.
Типы ограничения очереди могут быть комбинированными.
Другая классификация делит СМО по источнику заявок. Порождать заявки (требования) может сама система или некая внешняя среда, существующая независимо от системы.
Естественно, поток заявок, порожденный самой системой, будет зависеть от системы и ее состояния.
Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.
В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.
Пример замкнутой системы: выдача кассиром зарплаты на предприятии.
По количеству каналов СМО делятся на:
- одноканальные;
- многоканальные.
Характеристики системы массового обслуживания
Основными характеристиками системы массового обслуживания любого вида являются:
- входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
- дисциплина очереди;
- механизм обслуживания.
Входной поток требований
Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (количество таких требований в каждом очередном поступлении ). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.
А i – время поступления между требованиями – независимые одинаково распределенные случайные величины;
E(A) – среднее (МО) время поступления;
λ=1/E(A) – интенсивность поступления требований;
Характеристики входного потока:
- Вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание.
- Количество требований в каждом очередном поступлении для групповых потоков.
Дисциплина очереди
Очередь – совокупность требований, ожидающих обслуживания.
Очередь имеет имя.
Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:
- первым пришел – первый обслуживаешься;
first in first out (FIFO)
самый распространенный тип очереди.
Какая структура данных подойдет для описания такой очереди? Массив плох (ограничен). Можно использовать структуру типа СПИСОК.
Список имеет начало и конец. Список состоит из записей. Запись – это ячейка списка. Заявка поступает в конец списка, а выбирается на обслуживание из начала списка. Запись состоит из характеристики заявки и ссылки (указатель, за кем стоит). Кроме этого, если очередь с ограничением на время ожидания, то еще должно быть указано предельное время ожидания.
Вы как программисты должны уметь делать списки двусторонние, односторонние.
Действия со списком:
- вставить в хвост;
- взять из начала;
- удалить из списка по истечении времени ожидания.
- пришел последним - обслуживаешься первым LIFO (обойма для патронов, тупик на железнодорожной станции, зашел в набитый вагон).
Структура, известная как СТЕК. Может быть описан структурой массив или список;
- случайный отбор заявок;
- отбор заявок по критерию приоритетности.
Каждая заявка характеризуется помимо прочего уровнем приоритета и при поступлении помещается не в хвост очереди, а в конец своей приоритетной группы. Диспетчер осуществляет сортировку по приоритету.
Характеристики очереди
- ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»);
- длина очереди.
Механизм обслуживания
Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся:
- количество каналов обслуживания (N );
- продолжительность процедуры обслуживания (вероятностное распределение времени обслуживания требований);
- количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры (для групповых заявок);
- вероятность выхода из строя обслуживающего канала;
- структура обслуживающей системы.
Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».
S i – время обслуживания i -го требования;
E(S) – среднее время обслуживания;
μ=1/E(S) – скорость обслуживания требований.
Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода из строя обслуживающего канала по истечении некоторого ограниченного интервала времени. Эту характеристику можно моделировать как поток отказов, поступающий в СМО и имеющий приоритет перед всеми другими заявками.
Коэффициент использования СМО
N ·μ – скорость обслуживания в системе, когда заняты все устройства обслуживания.
ρ=λ/(N μ) – называется коэффициентом использования СМО , показывает, насколько задействованы ресурсы системы.
Структура обслуживающей системы
Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживани .
Пример. Кассы в магазине.
Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно . Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.
Пример. Медицинская комиссия.
Комбинированное обслуживание – обслуживание вкладов в сберкассе: сначала контролер, потом кассир. Как правило, 2 контролера на одного кассира.
Итак, функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами :
- вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
- мощностью источника требований;
- вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
- конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
- количеством и производительностью обслуживающих каналов;
- дисциплиной очереди.
Основные критерии эффективности функционирования СМО
В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:
- вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки (Р обсл =К обс /К пост);
- вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки (P отк =К отк /К пост);
Очевидно, что Р обсл + P отк =1.
Потоки, задержки, обслуживание. Формула Поллачека–Хинчина
Задержка – один из критериев обслуживания СМО, время проведенное заявкой в ожидании обслуживания.
D i – задержка в очереди требования i ;
W i =D i +S i – время нахождения в системе требования i .
(с вероятностью 1) – установившаяся средняя задержка требования в очереди;
(с вероятностью 1) – установившееся среднее время нахождения требования в СМО (waiting).
Q(t) – число требований в очереди в момент времени t;
L(t) – число требований в системе в момент времени t (Q(t) плюс число требований, которые находятся на обслуживании в момент времени t.
Тогда показатели (если существуют)
(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в очереди;
(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в системе.
Заметим, что ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q и L в системе массового обслуживания.
Если вспомнить, что ρ= λ/(N μ), то видно, что если интенсивность поступления заявок больше, чем N μ, то ρ>1 и естественно, что система не сможет справиться с таким потоком заявок, а следовательно, нельзя говорить о величинах d, w, Q и L.
К наиболее общим и нужным результатам для систем массового обслуживания относятся уравнения сохранения
Следует обратить внимание, что упомянутые выше критерии оценки работы системы могут быть аналитически вычислены для систем массового обслуживания M/M/N (N >1), т. е. систем с Марковскими потоками заявок и обслуживания. Для М/G/ l при любом распределении G и для некоторых других систем. Вообще распределение времени между поступлениями, распределение времени обслуживания или обеих этих величин должно быть экспоненциальным (или разновидностью экспоненциального распределения Эрланга k-го порядка), чтобы аналитическое решение стало возможным.
Кроме этого можно также говорить о таких характеристиках, как:
- абсолютная пропускная способность системы – А=Р обсл *λ;
- относительная пропускная способность системы –
Еще один интересный (и наглядный) пример аналитического решения – вычисление установившейся средней задержки в очереди для системы массового обслуживания M/G/ 1 по формуле:
.
В России эта формула известна как формула Поллачека– Хинчина, за рубежом эта формула связывается с именем Росса (Ross).
Таким образом, если E(S) имеет большее значение, тогда перегрузка (в данном случае измеряемая как d ) будет большей; чего и следовало ожидать. По формуле можно обнаружить и менее очевидный факт: перегрузка также увеличивается, когда изменчивость распределения времени обслуживания возрастает, даже если среднее время обслуживания остается прежним. Интуитивно это можно объяснить так: дисперсия случайной величины времени обслуживания может принять большое значение (поскольку она должна быть положительной), т. е. единственное устройство обслуживания будет занято длительное время, что приведет к увеличению очереди.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.
Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса , происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские . В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.
2 - очередь - требования, ожидающие обслуживания.
Очередь оценивается средней длиной г - числом объектов или клиентов, ожидающих обслуживания.
3 - обслуживающие аппараты (каналы обслуживания) - совокупность рабочих мест, исполнителей, оборудования, осуществляющих обслуживание требований по определенной технологии.
4 - выходящий поток требований со"(г) - поток требований, прошедших СМО. В общем случае выходящий поток может состоять из требований обслуженных и необслуженных. Пример необслуженных требований: отсутствие нужной детали для автомобиля, находящегося в ремонте.
5 - замыкание (возможное) СМО - состояние системы, при котором входящий поток требований зависит от выходящего.
На автомобильном транспорте после обслуживания требований (ТО, ремонт) автомобиль должен быть технически исправным.
Системы массового обслуживания классифицируются следующим образом.
1. По ограничениям на длину очереди:
СМО с потерями - требование покидает СМО необслуженным, если в момент его поступления все каналы заняты;
СМО без потерь - требование занимает очередь, даже если все каналы заняты;
СМО с ограничениями по длине очереди т или времени ожидания: если существует ограничение на очередь, то вновь поступившее (/?/ + 1)-е требование выбывает из системы необслуженным (например, ограниченная емкость накопительной площадки перед АЗС).
2. По количеству каналов обслуживания п:
Одноканальные: п = 1;
Многоканальные п ^ 2.
3. По типу обслуживающих каналов:
Однотипные (универсальные);
Разнотипные (специализированные).
4. По порядку обслуживания:
Однофазовые - обслуживание производится на одном аппарате (посту);
Многофазовые - требования последовательно проходит несколько аппаратов обслуживания (например, поточные линии ТО; конвейерная сборка автомобиля; линия внешнего ухода: уборка -> мойка -> обсушка -> полировка).
5. По приоритетности обслуживания:
Без приоритета - требования обслуживаются в порядке их поступления на
СМО;
С приоритетом - требования обслуживаются в зависимости от присвоенного
им при поступлении ранга приоритетности (например, заправка автомобилей
скорой помощи на АЗС; первоочередной ремонт на АТП автомобилей,
приносящих наибольшую прибыль на перевозках).
6. По величине входящего потока требований:
С неограниченным входящим потоком;
С ограниченным входящим потоком (например, в случае предварительной записи на определенные виды работ и услуг).
7. По структуре С МО:
Замкнутые - входящий поток требований при прочих равных условиях зависит от числа ранее обслуженных требований (комплексное АТП, обслуживающее только свои автомобили (5 на рис. 6.6));
Открытые - входящий поток требований не зависит от числа ранее обслуженных: АЗС общего пользования, магазин по продаже запасных частей.
8. По взаимосвязи обслуживающих аппаратов:
С взаимопомощью - пропускная способность аппаратов непостоянна и зависит от занятости других аппаратов: бригадное обслуживание нескольких постов СТО; использование "скользящих" рабочих;
Без взаимопомощи - пропускная способность аппарата не зависит от работы других аппаратов СМО.
Применительно к технической эксплуатации автомобилей находят распространение замкнутые и открытые, одно- и многоканальные СМО, с однотипными или специализированными обслуживающими аппаратами, с одно- или многофазовым обслуживанием, без потерь или с ограничением на длину очереди или на время нахождения в ней.
В качестве показателей эффективности работы СМО используют приведенные ниже параметры.
Интенсивность обслуживания
Относительная пропускная способность определяет долю обслуженных требований от общего их количества.
Вероятность того, что все посты свободны Р {) , характеризует такое состояние системы, при котором все объекты исправны и не требуют проведения технических воздействий, т.е. требования отсутствуют.
Вероятность отказа в обслуживании Р огк имеет смысл для СМО с потерями и с ограничением по длине очереди или времени нахождения в ней. Она показывает долю "потерянных" для системы требований.
Вероятность образования очереди Р оц определяет такое состояние системы, при котором все обслуживающие аппараты заняты, и следующее требование "встает" в очередь с числом ожидающих требований г.
Зависимости для определения названных параметров функционирования СМО определяются ее структурой.
Среднее время нахождения в очереди
Из-за случайности входящего потока требований и продолжительности их выполнения всегда имеется какое-то среднее число простаивающих автомобилей. Поэтому требуется так распределить число обслуживающих аппаратов (постов, рабочих мест, исполнителей) по различным подсистемам, чтобы И - min. Этот класс задач имеет дело с дискретным изменением параметров, так как число аппаратов может изменяться только дискретным образом. Поэтому при анализе системы обеспечения работоспособности автомобилей используются методы исследования операций, теории массового обслуживания, линейного, нелинейного и динамического программирования и имитационного моделирования.
Пример. На автотранспортном предприятии имеется один пост диагностирования (п = 1). В данном случае длина очереди практически неограниченна. Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если стоимость простоя автомобилей в очереди составляет С\ = 20 р.е. (расчетных единиц) в смену, а стоимость простоя постов С 2 = 15 р.е. Остальные исходные данные те же, что и для предыдущего примера.
Пример. На том же автотранспортном предприятии число постов диагностирования увеличено до двух (п = 2), т.е. создана многоканальная система. Так как для создания второго поста необходимы капиталовложения (площади, оборудование и т.д.), то цена простоя средств обслуживания увеличивается до С2 = 22р.е. Определить параметры эффективности работы системы диагностирования. Остальные исходные данные те же, что для предыдущего примера.
Интенсивность диагностирования и приведенная плотность потока остаются теми же:
}
